概率统计冲刺辅导。
一、基本问题。
1．随机事件。
1）随机试验；（2）事件的基本概念（定义、样本空间、样本点、基本事件、不可能事件、必然事件）；（3）事件的运算、关系、运算律；（4）事件的概率及性质；（5）事件的独立性。
2．概率计算法。
1）直接计算法（古典概率、几何概率）；（2）概率性质计算法；（3）三大公式计算法；（4）独立性计算法；（5）随机变量计算法；（6）中心极限定理计算法。
例1 设和是事件，已知，且，，则下面结论不正确的是（ ）
ab) cd)
解应选(c)。由于，因此，从而，故选(c)。 或利用排除法，因为(a)、(b)、(d)都正确，所以(c)不正确。
例2 设是事件，则与不相容的事件为（ ）
a) (b) (c) (d)
解应选(d)。由知，与不相容，故选(d)。
例3 设是事件，，且，则（ ）
a) b)
c) d)
解应选(b)。由于，因此。
故选(b)。
例4 设是事件，则下面结论正确的是（ ）
a)若互不相容，则也互不相容 (b)若相容，则也相容。
c)若相互对立，则也相互对立 (d) 若，则互不相容。
解应选(c)。若相互对立，则，，从而，，即也相互对立，故选(c)。
例5 设是随机事件，，，则 。
解由于，因此相互独立，从而，于是，故。
例6 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率为 。
解设表示“两颗骰子点数之和为7”，表示“两颗骰子中有一颗出现1点”，则有利于发生中的基本事件数为6，而的含在中的基本事件数为2，故所求概率为。
例7 用自动生产线加工机器零件，每个零件为次品的概率为，若在生产过程中累计出现个次品，则生产线停机检修，则停机检修时共生产了个零件的概率为 。
解设表示“停机检修时恰好生产了个零件”，表示“在个零件中有个次品”，表示“生产第零件时出现第个次品”则，且相互独立，于是。
例8 袋中有一个白球和一个黑球，先从袋中任取一球，若取出白球试验终止，若取出黑球，在把黑球放回袋中的同时，再加进一个黑球，然后再从袋中任取一球，如此下去，直到取出白球为止，求下列事件的概率；（）取了次均未取到白球；（）试验在第次取球后终止。
解设表示“第次取到黑球”，，则。
）所求的概率为。
）所求的概率为。
例9 甲袋中有9只白球，1只红球，乙袋中有10只白球，每次从甲、乙两袋中随机地各取一球交换放入另一袋中，这样进行了三次，求红球出现在甲袋中的概率。
解设表示“第次交换后红球出现在甲袋中”，则表示“第次交换后红球出现在乙袋中”，，从而。
这是因为第三次交换后红球出现在甲袋只与第二次交换后红球在那个袋中有关，与第一次无关）。
例10 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为，若第一次考试及格则第二次及格的概率也是，若第一次不及格则第二次及格的概率为，（）若至少一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率；（）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解设表示“该生第一次考试及格”，表示“该生第二次考试及格”，，
）所求的概率为。
）由bayes公式，得。
二、分布问题。
1．求分布函数。
1）求联合分布函数；（2）求边缘分布函数（包括随机变量的分布函数）；（3）求条件分布函数；（4）求概率；（5）判断随机变量独立性。
2．求分布律。
1）求联合分布律；（2）求边缘分布律（包括随机变量的分布律）；（3）求条件分布律；（4）求概率；（5）判断随机变量的独立性。
3．求概率密度。
1）求联合概率密度；（2）求边缘概率密度（包括随机变量的概率密度）；（3）求条件概率密度；（4）求概率；（5）判断随机变量的独立性。
4．求数字特征。
1）直接求法（定义）；（2）数字特征的性质计算法；（3）判断随机变量的相关性；（4）求概率；（5）求概率的近似值（中心极限定理）
5．求抽样分布。
1）分布；（2）分布；（3）分布；（4）求概率。
例1 设随机变量与相互独立，且，的概率分布为，则（ ）
abcd)
解应选（a）。由全概率公式及与相互独立，得。
故选（a）。
例2 设的概率密度为，则以下结论不成立的为（ ）
ab) (cd)
解应选(b)。依题设，则，，，从而(a) 、c)、 d)都成立，故选(b)。
例3 设，对于给定的，数满足，若，则等于（ ）
abc） （d）
解应选（c）。因为，从而，又标准正态分布的概率密度函数是偶函数，即其图像关于轴对称，故，因此，故选（c）。
例4 设服从参数为的指数分布，且，则（ ）
abcd)
解应选(d)。
因为，所以，从而，故选(d)。
例5 设是随机变量，数满足，若的概率密度为，则（ ）
abcd）解应选（c）。因为，即，从而，故选（c）。
例6 设的期望，方差，chebyshev不等式得，则（ ）
abcd）解应选（b）。由于，因此，故选（b）。
例7 设和都是概率密度，则下面函数是概率密度为（ ）
ab) cd)
解应选(d)。
因为和都是概率密度，所以，并且，，又，故，从而，并且，于是是概率密度，故选(d)。
例8 设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ）
abcd)
解应选(d)。
由于与的概率密度分别为。
又与相互独立，故的联合概率密度为。
所以，故选(d)。
例9 设随机变量与相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记。，则（ ）
abcd)
解应选(a)。
由于，，因此。
故选(a)。
例10 设相互独立同服从分布，则（ ）
ab）cd）
解应选（d）。由于
故选（d）。
例11 设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则（ ）
abcd)
解应选(c)。由于与的概率密度分别为。
又与相互独立，故的联合概率密度为。
所以，故选(c)。
例12 设相互独立同服从分布，若，则（ ）
ab）cd）
解应选（b）。由题设知服从正态分布，又，因此，从而，故选（b）。
例13 设，，则与（ ）
a）不相关且相互独立b）不相关且不相互独立。
c）相关且相互独立d）相关且不相互独立。
解应选（d）。由知，的概率密度为，从而，于是与相关，从而不相互独立，故选（d）。
例14 设，则下面结论不正确的为（ ）
a）与相互独立b）服从正态分布。
cd）解应选（d）。由知，，从而与相互独立且，，于是，因此，故选（d）。
例15 设总体的均值为，方差为，是总体的样本，与分别为样本均值和样本方差，则（ ）
ab）cd）
解应选（c）。由于，，因此，故选（c）。
例16 设总体，其中已知，是来自于总体的样本，样本方差，则（ ）
abcd）解应选（d）。
由于，因此，从而，故选（d）。
例17 设是来自正态总体的容量为的样本，则统计量服从的分布是（ ）
a） （b） （c） （d）
解应选（c）。由于，因此，且相互独立，从而，且相互独立，于是，即，故选（c）。
例18 设随机变量服从参数为的poisson分布，已知，则 。
解由题设， ，解之得，，（不合题意舍去），所以。
例19 设是上概率密度为正的连续型随机变量，且，若，且，则 。
解由于，因此。
又是连续型随机变量，所以，故。
例20 设相互独立同服从，，则 。
解由于，，因此。
例21 设相互独立，，，则 。
解 例22 设随机变量和的相关系数为0.5，，则 。
解由于，因此，于是。
例23 设相互独立均服从标准正态分布，则 。
解由对称性知，又，故。
例24 设是来自于总体的样本，，，若，则当时，。
解由于，因此，，即。
例25 设总体的均值为，方差为，是总体的样本，为样本均值，要使成立，则样本容量 。
解由于，因此，故。
例26 设与分别为来自于标准正态分布总体和的一组相互独立的样本，令，则 。
解由于，，因此，故。
例27 有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取两个安装在一台设备上，若两个零件中有个二等品，则该设备的寿命（单位：小时）服从参数为的指数分布，试求（）设备寿命超过1小时的概率；（）若已知设备寿命超过1小时，则安装在该设备上的2个零件为一等品的概率。
解设表示设备的寿命，表示“2个零件中有个二等品”，，则，
）由全概率公式，得。
）由bayes公式得，
例28 某人上班，自家里去办公室要经过一交通指示灯，这一指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮，等待时间在区间（以秒计）上服从均匀分布。以表示他的等待时间，求的分布函数。
概率统计辅导讲义 1
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