2013概率统计强化讲义。
第一章事件和概率。
一基本概念。
1 随机试验()样本点()样本空间()随机事件(事件).
2 事件：不可能事件()、必然事件()、基本事件(单点集).
二事件的关系。
1 包含：. 概率含义：发生，必然发生。
若且， 则。
2 和事件：. 概率含义：,至少有一发生。
3 积事件：. 概率含义：,同时发生。
4 差事件：. 概率含义：发生且不发生。
5 互不相容(互斥)：.概率含义：,不可能同时发生。
特例：且， 称，互为对立事件， 记为。
注：对立互不相容(互斥).
例1 设为三个随机事件， 用表示下列事件。
恰有一个发生 ② 至少有一个发生 ③ 三个事件不全发生。
解：① 注：问题**现至多、至少、不全等词时，一般考虑对立事件比较简单。
三事件的运算和事件概率的计算
1事件的运算。
1)分配律：.
2) 对偶律：，.
2 概率的定义。
3 概率的性质。
1) 加法公式：
特殊情形：
2) 减法公式：当，
一般情形：
推论：若，即。
3) 对立公式：
5 抽象事件概率的计算：先用运算律进行化简， 然后利用概率性质计算。
例2 设为两事件，且，已知则___
解： 从而对立，
例3 随机事件，满足和则有。
解： 概率得不到事件。
例4 设三事件且， 求中至多一个发生的概率？
解：设表示至多有一个发生，则表示至少有两个发生。
故而。四三种概率模型
1 古典概型：样本空间为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，2几何概型：为欧氏空间中的一个有界区域， 样本点的出现具有等可能性，3 伯努利概型。
1) 如果一个随机试验只有两个可能的结果， 则称为伯努利试验。将伯努利试验独立重复次称为重伯努利试验。
2) 设每次试验中事件出现的概率为，则在这重伯努利试验中事件恰好出现次的概率为： .
例5 袋中装有个白球和个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（97年50乒乓球20红30黄）
1) 从袋中取出的第个球是白球。
2) 从袋中取出个球中，恰含个白球和个黑球。
解：(1)有放回：考虑第次取球过程，样本点为个。
有利样本点数为个，
无放回： 2）有放回： 无放回：
例6 从中随机地取两个数，试求下列事件概率：
1) 两数之和小于1.2； (2) 两数之积小于。
解：记则为样本空间。
记 记，则。
五条件概率和乘法公式。
1称为事件发生的条件下发生的概率， 计算方法如下。
1) 条件概率公式： (
2) 压缩样本空间法：在新的样本空间中直接计算发生的概率。
2 条件概率的性质。
特别的， 若， 则。
特别的， 若， 则。
3乘法公式(积事件的概率计算)
例7 一批零件共100个，其中10个次品， 依次从中不放回的取出三个零件， 则。
1) 已知第。
一、二次取得的是次品， 则第三次取得的是**的概率多大？
2) 第三次才取得**的概率多大？
解：①记表示第。
一、二次取得的是次品，表示第三次是**。
例8 试证对任意两个事件与，如果，则有。
证明： 又，从而结论成立。
例9 10台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为。
解：：**一等品，：表示最后取出的为二等品。
补例：已知某个家庭有两个小孩，已知至少有一个女孩，问两个小孩都是女孩的概率？（）
六事件的独立性。
1 两事件的独立性。
1)独立()
注：独立()
2)独立独立独立独立。
3) 一般情形下，独立与互斥没有蕴含关系；
当时，独立与互斥不能同时成立。
2 三事件的独立性。
1)相互独立。
注：相互独立两两独立。
(2)相互独立运算得到的事件与运算得到的事件独立。
例10 设且， 证明独立。
证： 例11 设为三个相互独立的事件，且，则不独立的事件为 （）
a)与c (b)与 (c)与 (d)与。
a）（b）（d）显然独立。
若。例12两两独立且，又求？
解： 由于。
七复杂事件的概率。
1 完备事件组：, 满足。
2 设为完备事件组： (全概率公式)
(bayes公式。
3 如何应用公式：用在两阶段试验中， 第一阶段试验的结果选为完备事件组。
例13 假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内。
装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：
1)先取出的零件是一等品的概率；
2)在先取的零件是一等品条件下第二次所取零件仍为一等品的条件概率。
解：①记：取第一箱，：先取出零件是一等品。
：第二次所取零件为一等品。
例14 （05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，…，中任取一个数记为，则。
解： 第二章一维随机变量及其分布。
一分布函数。
1 随机变量：到上的函数， 用表示。
2 分布函数：即的值为在内取值的概率。
有下面的三条性质：
1)，记为；，记为。
2)是单调非减，即时，
3) 是右连续，即。
注：性质（1）—（3）是成为分布函数的充要条件。
3 概率计算：
例1 设的分布函数为，求和。
解： 二离散型与连续型随机变量。
1 离散型随机变量。
1)定义：可能取值是有限多个或可数无穷多个。
2) 设离散型随机变量的可能取值是，记。
分布律： 3) 分布律性质：(1) (2).
2 连续型随机变量。
(1)定义：设的分布函数，如存在非负可积函数，有。
称为连续型随机变量，为概率密度。
2) 概率密度性质：(1) (2).
3);的连续点处有。
例2 设随机变量的密度满足，是的分布函数，则对任意实数有。
解： 例3 设的概率密度为， 求(1) (2) (3).
解：,例4 汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，
表示汽车所遇红灯个数，求的分布及分布函数。
解： 故而分布函数为。
三常见的离散型与连续型随机变量。
1 离散型随机变量。
1）（0—1）分布
2）二项分布 .
3）泊松分布 ，
背景为伯努利概型。
4) 超几何分布 ，例5 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为，求在第次成功之前恰失败了次的概率。
解： 例6 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为，则。解： 则。
故。2 连续型随机变量(除正态分布)
1) 均匀分布
注：均匀分布相当于几何概型。
2) 指数分布 ，
例7 设随机变量，则方程有实根的概率是。
解：，例8，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于2的概率。
解：对每一次观测而言：
四正态分布。
1) 正态分布
2) 标准正态分布
的值可通过查表得到。
性质：，，3), 特别的。
4) 概率计算：.
特别的： 例9．（06）设随机变量服从正态分布，服从正态分布。
且，则必有。
同理。例10 设随机变量服从正态分布， 对给定的， 数满足。
若， 则等于(b)
abcd解
五随机变量的函数的分布。
1．离散型： 设的分布律，,则求法如下。
1) 搞清楚的可能取值。
例11 设， 求的概率分布。
解：取值为整数取值为0，1，-1.
2．连续型。
1) 公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数，则的密度为。
其中是函数在可能取值的区间上值域。
3) 分布函数法： 先求分布函数。
后求密度函数， 具体如下
a) 写出在的取值范围。
b) 若； 若；
若解不等式， 求。
c) 例12 设随机变量的概率密度为。
令求y的概率密度？解：时，
例13 设服从参数为2的指数分布，证明：随机变量服从。
证： 第三章多维随机变量及其分布。
一分布函数。
1 二维随机变量：均为一维随机变量，称为二维随机变量。
2 分布函数：，有下面的性质。
3）关于和关于单调不减； （4）关于和关于右连续。
3．二维随机变量的边缘分布函数。
例1．设二维随机变量的分布函数为。
试求。解：，
二二维离散型随机变量。
1 联合分布律：
2分布律性质：（12）
3 边缘概率分布， ，
4条件概率分布。
补例：概率分布为， 又随机事件相互独立，则。
(a) (b)
c) (d)
例2．设随机变量，，且，求及条件下的条件分布律。
解： 三二维连续型随机变量。
1．设的联合分布函数， 其中，称为二维连续型随机变量，称为联合概率密度函数。
2 概率密度函数的性质：（1）（2）.
3 概率计算：
概率密度：在的连续点，.
4 边缘密度 ，
注：,也就是在分别在直线上的积分。
5条件概率密度若， ,则。
6 二维均匀分布。
的面积。注：二维均匀分布相当于平面区域上的几何概型。
例3（04）设随机变量在区间上服从均匀分布，在的。
条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求：
a) 随机变量的联合概率密度；
b)的概率密度； (c)概率。
解：(a)，当时，
当时，，故而。
b) c)
例4 设，试求（1）（2）和(3)是否独立。
解：① 当时，，故而不独立。
四随机变量的独立性。
1相互独立。
(离散型) (连续型).
2与独立，为连续函数也独立。
3 离散型随机变量独立分布律表各行各列成比例；
连续型随机变量独立概率密度函数、定义域可分离。
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