考前思索---概率与统计（理科）
1.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
1）从3月1日至3月5日中任选3天，记所选3天中发芽数不少于25颗的天数为，求的分布列和期望。
2）甲，乙两位同学都发现种子的发芽率与昼夜温差近似成线性关系，给出的拟合直线分别为与，试利用“最小平方法（也称最小二乘法）的思想”，判断哪条直线拟合程度更好．
解：（1）的取值为：.，
的分布列为：
则。2）将甲，乙所作拟合直线分别计算的值得到下表：
用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为。
用作为拟合直线时，所得到的值与的实际值的差的平方和为。
由于，故用直线的拟合效果好。
2.如图所示，质点p在正方形abcd的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点p从a点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点p前进一步（如由a到b）；当正方体上底面出现的数字是2，质点p前进两步（如由a到c），当正方体上底面出现的数字是3，质点p前进三步（如由a到d）．在质点p转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．
1）求质点p恰好返回到a点的概率；
2）在质点p转一圈恰能返回到a点的所有结果中，用随机变量ξ表示点p恰能返回到a点的投掷次数，求ξ的数学期望．
解：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为p1＝＝．
只投掷一次不可能返回到a点；若投掷两次质点p就恰好能返回到a点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为p2＝（）2×3＝；
若投掷三次质点p恰能返回到a点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为p3＝（）3×3＝；
若投掷四次质点p恰能返回到a点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1,1,1,1）．其概率为p4＝（）4＝．
所以，质点p恰好返回到a点的概率为：p＝p2＋p3＋p4＝＋＋
2）由（1）知，质点p转一圈恰能返回到a点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4，则p（ξ＝2）＝，p（ξ＝3）＝，p（ξ＝4）＝，所以，eξ＝2×＋3×＋4
3.某班甲、乙两名同学参加l00米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：
i）请作出样本数据的茎叶图；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）．
ⅱ）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12．8秒差的概率．
ⅲ）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在。
之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙两位同学的成绩差距不超过0．8秒的概率．
解：（ⅰ茎叶图。
从统计图中看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；
ⅱ）设事件a为：甲的成绩低于12．8，事件b为：乙的成绩低于12．8，则甲、乙两人成绩至少有一个低于秒的概率为： =
ⅲ）设甲同学的成绩为，乙同学的成绩为，则，得，如图阴影部分面积即为，则。
4.袋子和中分别装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，从中摸出一个球，得到红球的概率是，从中摸出一个球，得到红球的概率为。
1）若两个袋子中的球数之比为1：3，将中的球混装在一起后，从中摸出一个球，得到红球的概率是，求的值；
2）从中有放回地摸球，每次摸出一个，若累计3次摸到红球即停止，最多摸球5次，5次之内（含5次）不论是否有3次摸到红球都停止摸球，记5次之内（含5次）摸到红球的次数为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望。
解析 （1）两个袋子中的球数之比为1：3，∴设袋子中有个球，则袋子中有个球。由于从中摸出一个红球的概率是，从中摸出一个红球的概率为，∴袋子中有个红球，袋子中有个红球。
中的球混装在一起后，共有红球个，∴.
2）随机变量的取值为0，1，2，3.
则；随机变量的分布列是：
的数学期望。
5.国家对空气质量的分级规定如下表：
某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：
根据以上信息，解决下列问题：
ⅰ）写出下面频率分布表中的值；
ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用x表示，求x的分布列和均值ex.
解：（ⅰ（ⅱ）由题意，该市4月份空气质量为优或良的概率为p=，的分布列为：
x~b(4
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