2011导航领航考研冲刺班数学讲义。
概率统计。邓泽华编。
第三篇概率统计。
一、填空题分析。
填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。
1.（04-1-3-4）设随机变量服从参数为的指数分布，则 .，概率计算】
2.（04-3）设总体，总体，和分别是来自总体和的简单随机样本，则 . 统计量的数字特征】
3.（06-1-3-4）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 .，概率计算】
4.（05-1-3-4）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则 .，概率计算】
5.（05-1-3-4）设二维随机变量的概率分布为，若随机事件与相互独立，则。
0.4，0.1，确定常数】
6.（06-3）设总体的概率密度为，（）为来自总体的简单随机样本，其样本方差为，则 .
2，统计量的数字特征】
7.（07-1-3-4）在区间中随机地取两个数，则这两个数的差的绝对值小于的概率为 .，概率计算】
8.（08-1-3-4）设随机变量服从参数为1的泊松分布，则 . 概率计算】
9.（08-n）设为来自正态总体的简单随机样本，则 .，统计量的数字特征】
10.（09-1）设为来自二项分布总体的简单随机样本，若为的无偏估计量，则 . 统计量的数字特征】
11.（09-3）设为来自二项分布总体的简单随机样本，记统计量，则 . 统计量的数字特征】
12.（09-n）设总体的概率密度，其中参数未知，若是来自总体的简单随机样本，是的估计量，则 . 数字特征】
13.（10-1）设随机变量的概率分布为，则 .
考查概率分布的性质与数学期望的计算，】
14（10-3）设是来自总体的简单随机样本，统计量，则 .
考查统计量的数学期望，】
15.（10-n）设随机变量的概率分布为，其中，若，则 .
考查概率计算，】
二、选择题分析。
解选择题的方法有⑴直接法；⑵间接法（排除法、特例法等）；⑶数形结合法。考点涉及概念、理论、方法和运算，少数题有一定难度。
1.（06-1-4）设，为随机事件，且，，则必有（ ）
a）（b）c）（d）
c，概率公式】
2. （04-1-3-4）设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足。
若，则等于（ ）
a）（b）（c）（d）
b，正态概率】
3. (06-1-3-4)设随机变量～，～且。
则必有（ ）
a）（b）（c）（d）
a，正态概率】
4.（04-4）设随机变量独立同分布，且其方差为。 令，则（ ）
a）（b）c） （d）
c，数字特征】
5.（05-4）设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，则（ ）
a）（b）c）（d）
c，中心极限定理】
6.（05-1）设为来自总体的简单随机样本，则（ ）
a）（b）（c）（d）
d，抽样分布】
7.（05-3）设一批零件的长度服从正态分布，其中参数未知。 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值（cm），样本标准差(cm)，则的置信度为0.90的置信区间是（ ）
a) (b)
c) (d)
c，置信区间】
8.（07-1-3-4）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第次射击恰好第次命中目标的概率为（）.
a）（b）（c）（d）
c，概率计算】
9.（07-1-3-4）设服从二维正态分布，且与不相关，，分别为，的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度（）.
a）（b）（c）（d）
a，条件密度】
10.（08-1-3-4）设随机变量独立同分布，且的分布函数为，则的分布函数为（）.
a） （b）
c）（d）a，函数的分布】
11.（08-1-3-4）设随机变量，，且相关系数，则（）.
a）（b）c）（d）
d，相关系数的性质】
12.（08-n）设为个随机事件，下列结论中正确的是（）.
a）若相互独立，则两两独立
b）若两两独立，则相互独立。
c）若，则相互独立。
d）若与独立，与独立，则与独立。
a，独立性】
13.（08-n）设随机变量服从参数为的二项分布，则（）.
a） （b）
c）（d）d，数字特征】
14.（09-1-n）.设随机变量的分布函数为，则（）.
a） （b） （c） （d）
c，数字特征】
15.（09-1-3）.设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点的个数为（）.
a）（b）（c）（d）
b，函数的分布】
16.（09-3-n）事件与互不相容，则（）.
a） （b） （c） （d）
d，概率公式】
17.（10-1-3）设随机变量的分布函数为，则（）.
a） （b） （c） （d）
考查分布函数的性质，c】
18.（10-1-3）若为标准正态分布的概率密度，为上的均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足（）.
a）（b）（c）（d）
考查概率密度的性质，a】
19.（10-3-n）设是来自总体的简单随机样本，统计量，则（）.
a） （b） （c） （d）
统计量的数字特征， c】
20. （10-3-n）设随机变量服从上的均匀分布，则（）.
a）（b）（c）（d）
考查事件的运算与概率，d】
三、解答题分析。
一）考点分析。
近年的考点分布情况如下：
数学一。07年已知二维随机变量密度求概率与函数的密度、已知总体密度求参数矩估计与统计量的无偏性。
08年已知独立和边缘求条件概率与函数的密度、已知总体密度求统计量期望与方差。
09年摸球问题中的条件概率与联合分布、已知总体密度求参数矩估计和最大似然估计。
数学三。07年与数学一相同。
08年与数学一相同。
09年与数学一相同、已知二维随机变量密度求条件密度与条件概率。
数学农科。08年已知随机变量密度和期望求常数与分布函数、已知二维离散随机变量的联合分布求边缘分布与概率。
09年已知随机变量密度和函数期望求常数与概率、已知离散随机变量与的概率分。
布及求联合分布与相关系数。
二）综合举例。
例1 进行重复独立试验，设事件在一次试验**现的概率为，求。
次试验中事件至少出现一次的概率；
第次试验事件才出现的概率；
第次试验事件恰好出现次的概率。
解 【重复独立试验】
次试验中事件出现的次数，所求概率。
第次试验事件才出现的概率为。
第次试验事件恰好出现次的概率为。
例2 在电源电压不超过v， v和超过v三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为，和，设电源电压，已知，求。
该电子元件损坏的概率；
该电子元件损坏时，电源电压在v的概率。
解 【正态分布、全概率公式、贝叶斯公式】
设“电子元件损坏”，由全概率公式，得。
由贝叶斯公式，得。
例3 设的分布密度为且，求：⑴常数；⑵分布函数；⑶随机变量的期望与方差。
解 【一维随机变量分布与数字特征】
由分布密度的性质，得，解得。
的取值范围为，
当时，；当时，；
当时，当时，当时，.，例4 设盒内有5个球，其中2个红球，3个白球，从中无放回地抽取3个，设为抽到的红球总数，为第三次抽到的红球数。
求的概率分布；⑵求，问和是否独立？
解 【二维离散随机变量概率分布与数字特征】
的可能值为0，1，2；的可能值为0，1，
的概率分布为。，的概率分布为，的概率分布为，的概率分布为，
由于，故和不独立。
例5 设随机变量服从上的均匀分布，令随机变量求：
的概率分布；
在条件下，的条件分布；
与的相关系数。
解 【二维离散随机变量的概率分布、条件分布、相关系数】
的概率分布为，的概率分布为。
的概率分布为，其中，故在条件下，的条件分布为。
与的相关系数，的概率分布为，，.
又，故。例6 设二维随机变量的概率密度为。
求常数； 求关于的边缘分布密度并判断和是否独立；
求时的条件分布密度； 求；求和；
求的分布密度。
解 【二维连续随机变量的基本问题：确定常数、边缘密度、条件密度、概率计算、条件概率计算、分布函数】
由密度的性质。
的取值范围为，当时，所以关于的边缘分布密度。
类似可得关于的边缘分布密度。
由于，故和不独立。
时的条件分布密度。
所以，当时，的条件分布密度。
的取值范围，分布函数，当时，，当时，当时，
的分布密度。
问：如何求的联合分布函数？
例7 随机变量和相互独立，且服从上的均匀分布，服从参数为1的指数分布。
求的概率密度函数；⑵求，；⑶求。
解 【二维随机变量函数的概率分布、数字特征】
服从上的均匀分布，密度为。
服从参数为1的指数分布，密度为。
随机变量和相互独立，故的概率密度。
的取值范围为，的取值范围为，的取值范围为。
的分布函数，当时，当时，其中为积分域与密度的非零区域的交集。
当时，当时，故的概率密度，又和相互独立，故。
由和相互独立知，故。
例8假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。
当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作。求电路正常工作时间的概率分布。；
当三个元件中有一个无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作。求电路正常工作时间的概率分布。
解设三个电子元件无故障工作时间分别为，则它们相互独立，且都服从参数为的指数分布，分布函数为。
电路正常工作时间，其取值范围为，分布函数，时，时，
故电路正常工作时间的分布函数。
电路正常工作时间，其取值范围为，分布函数，时，时，
故电路正常工作时间的分布函数。
例9 设为独立同分布的随机变量，且都服从，记。求。
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