定义1 设，是任意两个整数，，如果存在一个正数，使得，则称整除，记。
性质。是任意的整数。
定理1 设，是任意两个整数，，则存在使得。
定义2 一个大于1的整数，如果他的正因素只有1和他的本身，则称这个数为质数。 一个大于1的整数，如果除了1和他的本身，还有其他正因素，则称这个数为合数。
性质。如果是一个质数，是任意一个整数，则或者与互质。
定理2 对任意一个大于1的整数，则，.
定义3 设，是两个整数，若，则称是，的一个公因数，整数，所有公因数中最大的那个数称为，的最大公因数，记做，若，则称与互质。
定义4 设，是两个整数，若且，则称是，的公倍数，，所有公倍数中最小的整数叫做与最小公倍数，记做。
定理3 设，是两个整数，若且，则。
定理4 设，是两个整数，则。
例1 从1到120的自然数种，能被3整数或者能被5整除的个数。
a) 64 (b) 48 (c) 56d) 46 (e) 72
例2 当整数被6整除时，其余数是3，则下列哪一项不是6的倍数。
a) (b) (c) (d) (e)
例3 两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90。满足条件的两个正整数组成的大数在前数对共有。
a)1对 (b) 2对c) 3对 (d) 4对 (e) 5对。
例4 三个质数之积签好等于他们之和的5倍，则这三个质数之和是。
a)11 (b)12c) 13d) 14 (e)15
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例5 (条件充分性判断)，
a)例6 (条件充分性判断)自然数的各位数之积是6
1)除以5余3，且除以7余2的最小自然数。
2)是形如的最小自然数。
d)正数、分数统称为有理数，任何一个有理数都可表示为，两个有理数的和、差、积、商均为有理数。
例2.1的值是。
a) (bcd) (e)
例2.2abc)
de) 以上结论均不正确。
例2.3 a) (b) (c) (d) (e)
例2.4 有一个整的既约分数，如果分子加24，分母加54，其分数值不变，那么此既约分数的分子与分母的乘积是。
(a)24 (b) 30c) 32d) 36 (e) 38
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例2.5 (条件充分性判断)
a)例2.6 (条件充分性判断) 新分数比原分数减少的百分率是30%.
1) 分子减少25%，分母增加25%
2) 分子增加25%，分母减少25%
e)无限不循环小数被称为无理数，有理数与无理数统称为实数。表示的整数部分，表示的小数部分。
例3.1 已知，则的值是。
a) (b) (c) (d) (e)
例3.2 设的整数部分是，小数部分是，则。
a)3b) 2c) (de) 0
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例3.3 (条件充分性判断)
b)例3.3 (条件充分性判断)
2)是有理数，是无理数，且。
d) 定义1 形如。
被称为一元次多项式。
两个多项式的和、差、积仍然是多项式。
定义1 对任意两个多项式。
如果存在多项式。
使得，则称整除，记做。
性质。定理1 对于任意两个多项式，存在多项式，使得。
其中的次数小于的次数。
定理2 对任意一个多项式，则。
定理3 是的根的充分必要条件是。
例1.1 如果整除，则。
a)0 (b) 2或 (cd) 2 (e)或1
例1.2 将多项式因式分解为，则等于。
a) (b) (c)
d) (e)
例1.3 若除以，余式为，则。
a) 10 (b) 11 (c) 12d) 22 (e) 36
例1.4 无论取何值，的值都是。
a) 正数 (b) 负数 (c) 零 (d) 非负数 (e) 非整数。
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例1.5 (条件充分性判断)成立。
a)例1.6 (条件充分性判断)是多项式的因式。
e)例1.6 (条件充分性判断)是49的的倍数。
1)都是整数。
2)是7的倍数。
b)定义1 形如的表达式成为分式。是分子，是分母。
性质分子分母同乘以一个不为零的数，值不变。
分式的运算：加减法，乘除法。
例2.1 已知，则。
a) (b) (c) (d) (e)
例2.2 已知，则的值等于。
a) (b) (c) (d) (e)
例2.3化简。
的结果为。a) (b) (c)
d) (e)以上结果均不对。
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例2.4 (条件充分性判断)成立。
1)为两两不等的实数
d)例2.5 (条件充分性判断)已知，则。
c)例2.6 (条件充分性判断)成立。
d)定义1 (算术平均值) 称。
为个数的算术平均值，记为。
定义2(几何平均值)称。
为个正数的几何平均值，记为。
极值定理。已知都是正数，则有。
1)若积是定值，则当时和有最小值；
2)若和是定值，则当时积有最大值。
例1.1 设变量的算术平均值为，若是固定值，则(=1，2，…,10)中可以任意取值的变量有。
a)10个 (b)9个 (c)2个 (d)1个 (e)0个。
例1.2 如果三个数的算术平均值为5，则与8的算术平均值为。
abcd)
e) 以上答案都不对。
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
c 条件(1)和条件(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分。
d 条件(1)充分，条件(2)也充分。
e 条件(1)和条件(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分。
例1.3 (条件充分性判断)的算术平均值是，而几何平均值是4，1)是满足的三个整数，
2)是满足的三个整数，
e)例1.4(条件充分性判断)三个实数的算术平均值为4
1)的算术平均值为4
2)的等差中项，且。
b)1.绝对值的定义。
2.几何意义。
实数的绝对值就是数轴上与对应的点到原点的距离。
3.绝对值的主要性质：
3)；等号成立的条件为。
4)；等号成立的条件为。
4．非负数。
3)若有意义，则且。
例2.1 设，则下列结论正确的是( )
a)没有最小值b)只有一个使取到最小值。
c)有无穷多个使取到最大值 (d)有无穷多个使取到最小值。
e)以上结论均不正确。
例2.2 实数在数轴上的位置如图。
所示，则代数式。
a) (b) (c) (d) (e)
例2.3 已知，则。
a)1 (b) (cd) (e)
解题说明。a 条件(1)充分，但条件(2)不充分。
b 条件(2)充分，但条件(1)不充分。
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