第八讲数列综合
★★高考在考什么。
考题回放】1.（宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ b ）
2.(江西)已知等差数列的前项和为，若，则7
3.（辽宁卷） 在等比数列中， ,前项和为，若数列也是等比数列，则等于。
abcd.
解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则。
即，所以，故选择答案c。
4.（湖南）设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ b ）
a．10 b．11 c．12 d．13
5.(陕西卷) 已知正项数列，其前n项和sn满足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列的通项an .
解析：解： ∵10sn=an2+5an+6， ①10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
an+an－1>0 ， an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a1a15 ， a1=2， ∴an=5n－3．
6.（广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。
)求数列的首项和公比；
)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；
解： (依题意可知，
ⅱ)由(ⅰ)知， ,所以数列的的首项为，公差，即数列的前10项之和为155.
★★高考要考什么。
本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查。
间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在。
一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．
2）给出sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．
理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
★★突破重难点。
范例1】已知数列，满足，，且（）
i）令，求数列的通项公式；
ii）求数列的通项公式及前项和公式．
解：（ｉ由题设得，即（）
易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．
ii）解：由题设得，令，则．
易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得。
求和得．变式】（文）在等差数列中，，前项和满足条件，
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）记，求数列的前项和。
解：（ⅰ设等差数列的公差为，由得：，所以，即，又＝，所以。
ⅱ）由，得。所以，当时，；
当时，即。理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。
ⅰ）、求数列的通项公式；
ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解：（ⅰ设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得。
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，故tn＝＝＝1－）.
因此，要使（1－）<成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有》a；
3）记（n=1,2,……求数列的前n项和sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴；
（2）， 有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……n=1,2,……3），而，即，同理，，又。
文】已知函数，、是方程的两个根()，是的导数。
设，，.1)求、的值；
2)已知对任意的正整数有，记，.求数列{}的前项和．
解、(1) 由得。
又 数列是一个首项为，公比为2的等比数列；
变式】对任意函数f（x），x∈d，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：
输入数据x0∈d，经数列发生器输出x1＝f（x0）；
若x1d，则数列发生器结束工作；若x1∈d，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．
现定义f（x）=．
ⅰ）若输入x0＝，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项；
ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围．
解：（ⅰf（x）的定义域d＝（－1）∪（1，＋∞
数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1
ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2
即x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈n）
ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2
对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2
当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈n）
综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）
范例3】已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…
i）证明：数列（）是常数数列；
ii）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；
iii）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增。
解：（i）当时，由已知得．
因为，所以。
于是。由②－①得。
于是。由④－③得。
所以，即数列是常数数列．
ii）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，所以，数列是单调递增数列且对任意的成立．
且。即所求的取值集合是．
iii）解法一：弦的斜率为。
任取，设函数，则。
记，则，当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，所以时，，从而，所以在和上都是增函数．
由（ii）知，时，数列单调递增，取，因为，所以．
取，因为，所以．
所以，即弦的斜率随单调递增．
解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以，．
故，即弦的斜率随单调递增．
文】设是数列（）的前项和，，且，，．i）证明：数列（）是常数数列；
ii）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
解：（i）当时，由已知得．
因为，所以。
于是。由②－①得。
于是。由④－③得。
即数列（）是常数数列．
ii）由①有，所以．
由③有，所以，而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得， ，从而是数列中的第项．
注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
变式】（文）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
2） 设tn=(1+a1) (1+a2) …1+an)，求tn及数列｛an｝的通项；
3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和sn，并证明sn+=1.
解：（ⅰ由已知，
两边取对数得。
即。是公比为2的等比数列。
ⅱ）由（ⅰ）知。
由（*）式得。又。又。
理）在数列中，，其中．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
ⅰ）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
1）当时，，等式成立．
2）假设当时等式成立，即，那么。
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
ⅱ）解：设， ①
当时，①式减去②式，得，这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
由知，要使③式成立，只要，因为。
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
2023年高考数学专题讲义 数列综合
第八讲数列综合 高考在考什么。考题回放 1.宁夏 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于 b 2.江西 已知等差数列的前项和为，若，则7 3.辽宁卷 在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于。abcd.解析 因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则。即，所以，故选择答案c。4.湖南 设集合...
2023年高考数学专题复习 数列
一 数列的通项公式与前n项的和的关系。注 该公式对任意数列都适用 注 该公式对任意数列都适用 注 该公式对任意数列都适用 注 该公式对任意数列都适用 二 等差与等比数列的基本知识。1 等差数列。1 通项公式与公差 定义式 一般式 推广形式 前项和与通项的关系 前n项和公式 前n项和公式的一般式 应用...
2023年高考数学数列专题解读
作者 靳文岚。甘肃教育 2015年第08期。关键词 数学教学 数列 解读。中图分类号 g633.6 文献标识码 c 文章编号 1004 0463 2015 08 0123 01 数列是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考查内容。2014新课标全国卷 理科数学高考中数列为第18大题，分值12分 文...