2023年高考数学试题分类汇编——数列。
2010上海文数）21已知数列的前项和为，且，1)证明：是等比数列；
2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数。
解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，ansnsn15an5an11，所以，又a1115≠0，所以数列是等比数列；
2) 由(1)知：，得，从而(nn*)；
由sn1>sn，得，，最小正整数n15．
2010湖南文数）20.给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
i）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（ii）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为。
求和： 2010全国卷2理数）（18）已知数列的前项和．
ⅰ）求；ⅱ）证明：．
参***】2010陕西文数）16. 已知是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列。
（ⅰ）求数列的通项求数列的前n项和sn.
解 （ⅰ由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去）， 故的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(ⅱ)由（ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得。
sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
2010全国卷2文数）（18）已知是各项均为正数的等比数列，且，ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设，求数列的前项和。
解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
2010江西理数）22.证明以下命题：
对任一正整a,都存在整数b,c(b存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。
证明：当成等差数列，则，分解得：
选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解。
对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，
由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
2010安徽文数）（21设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列。
ⅰ)证明：为等比数列；
ⅱ）设，求数列的前项和。
2010重庆文数）（16）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和。
ⅰ）求通项及；
ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和。
2010浙江文数）（19）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和为sn，满足+15=0。
ⅰ）若=5，求及a1；
ⅱ）求d的取值范围。
2010重庆理数）（21）在数列中，=1，，其中实数。
求的通项公式；
若对一切有，求c的取值范围。
2010山东文数）（18）已知等差数列满足：，.的前n项和为。
求及；ⅱ）令（）,求数列的前n项和。
2010北京文数）（16）已知为等差数列，且，。
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式。
解：（ⅰ设等差数列的公差。
因为。所以解得。
所以。（ⅱ）设等比数列的公比为。
因为。所以即=3
所以的前项和公式为。
2010北京理数）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ) 设p，p中有m(m≥2)个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为(p).
证明：（p）≤.
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（i）设，因为，，所以， 从而。又。
由题意知，，.
当时，;当时，所以。
ii)设，，，
记，由（i）可知。
所以中1的个数为，的1的。
个数为。设是使成立的的个数，则。
由此可知，三个数不可能都是奇数，即，三个数中至少有一个是偶数。
iii）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于。
所以。从而。
2010四川理数）（21）已知数列满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈n*都有。
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
ⅰ）求a3，a5；
ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈n*)，证明：是等差数列；
ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈n*)，求数列的前n项和sn.
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝202分。
2)当n∈n *时，由已知(以n＋2代替m)可得。
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_w w. k#s5_ o*m
即 bn＋1－bn＝8
所以是公差为8的等差数列5分。
3)由(1)(2)解答可知是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列。
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得。
an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1w_w w. k#s5_ o*m
2n＋12n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，sn＝2＋4＋6＋……2n＝n(n＋1)
当q≠1时，sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……2n·qn－1.
两边同乘以q，可得。
qsn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……2n·qn.
上述两式相减得。
(1－q)sn＝2(1＋q＋q2＋……qn－1)－2nqnw_w w. k#s5_ o*m
2·－2nqn
所以sn＝2·
综上所述，sn12分。
2010天津文数）（22）在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
ⅰ）证明成等比数列；
ⅱ）求数列的通项公式；
ⅲ）记，证明。
i）证明：由题设可知，从而，所以，，成等比数列。
ii）解：由题设可得。
所以。由，得 ，从而。
所以数列的通项公式为或写为，。
iii）证明：由（ii）可知，以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m
若，则，若，则。
所以，从而。
当n为奇数时，设。
所以，从而。
综合（1）和（2）可知，对任意有。
2010天津理数）（22）在数列中，，且对任意。，，成等差数列，其公差为。
ⅰ）若=，证明，，成等比数列（）
ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。
ⅰ）证明：由题设，可得。
所以。2k(k+1)
由=0，得。
于是。所以成等比数列。
ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得。
当≠1时，可知≠1，k
从而。所以是等差数列，公差为1。
ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（ⅰ）有。
所以。因此，以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m()
若m=1,则。
若m≥2，则。
所以。2)当n为奇数时，设n=2m+1（）
所以从而···
综合（1）（2）可知，对任意，有。
证法二：（i）证明：由题设，可得。
所以。由可知。可得，所以是等差数列，公差为1。
ii）证明：因为所以。
所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。
从而。所以，由，可得。
于是，由（i）可知。
以下同证法一。
2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列中， .
ⅰ）设，求数列的通项公式；
ⅱ）求使不等式成立的的取值范围 .
2010四川文数）（20）（本小题满分12分）w_w w. k#s5_ o*m
已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。
ⅰ）求数列的通项公式；w_w w. k#s5_ o*m
ⅱ）设，求数列的前n项和。
2010山东理数）（18）（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
ⅰ）求及；ⅱ）令bn=(nn*)，求数列的前n项和．
解析】（ⅰ设等差数列的公差为d，因为，，所以有。
解得，所以；==
ⅱ）由（ⅰ）知，所以bn===所以==，即数列的前n项和=。
命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
2010湖南理数）21．（本小题满分13分）
数列中，是函数的极小值点。
ⅰ）当a=0时，求通项；
ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
2010湖北理数）
2. （2010安徽理数）20、（本小题满分12分）
设数列中的每一项都不为0。
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。
2010江苏卷）19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
2023年高考数学数列
数列。1 设数列满足为实数。证明 对任意成立的充分必要条件是 设，证明 设，证明 2.设数列的前项和为 已知，设，求数列的通项公式 若，求的取值范围 3.设各项均为正数的数列满足。若，求a3，a4，并猜想a2008的值 不需证明 记对n 2恒成立，求a2的值及数列的通项公式。4.对于每项均是正整数的...
2023年高考数学数列
数列。1 设数列满足。i 求数列的通项 ii 设求数列的前项和。2 已知数列，与函数，满足条件 i 若，存在，求的取值范围 ii 若函数为上的增函数，证明对任意，用表示 3 等差数列 的前n项和为，1 求数列 的通项与前n项和为 2 设 n 求证 数列 中任意不同的三项都不可能成为等比数列。4 数列...
2023年高考数学数列
数列。1 设数列中的每一项都不为0.证明，为等差数列的充分必要条件是 对任何，都有。2.已知集合对于，定义a与b的差为a与b之间的距离为。证明 且 证明 三个数中至少有一个是偶数。设p，p中有m m 2 个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为 p 证明 p 3.数列中，是函数的极小值点。i 当a ...