数列、极限和数学归纳法。
安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是。
11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和。
解析】由算法框图可知，若t＝105，则k＝14，继续执行循环体，这时k＝15，t>105，所以输出的k值为15.
18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设求数列的前项和。
本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
解：（i）设构成等比数列，其中则。
①×②并利用。
（ii）由题意和（i）中计算结果，知。
另一方面，利用。
得所以。安徽文（7）若数列的通项公式是，则。
a） 15b) 12cd)
7）a【命题意图】本题考查数列求和。属中等偏易题。
解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故。故选a.
北京理。11.在等比数列中，若，，则公比。
解析】，，是以为首项，以2为公比的等比数列，。
20.若数列：，，满足（，2，…，则称为e数列。记。
1）写出一个满足，且的e数列；
2）若，，证明：e数列是递增数列的充要条件是；
3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的e数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的e数列；如果不存在，说明理由。
解：（ⅰ0，1，2，1，0是一具满足条件的e数列a5。
答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的e的数列a5）
ⅱ）必要性：因为e数列a5是递增数列，所以。
所以a5是首项为12，公差为1的等差数列。所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.
故是递增数列。综上，结论得证。
（ⅲ）令。因为。
所以。因为。
所以为偶数，所以要使为偶数，即4整除。
当。时，有。
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在e数列an，使得。
北京文。14）设， ,记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 ；的所有可能取值为6；6，7，8
20）（本小题共13分）
若数列满足，则称为数列，记。
）写出一个数列满足；
）若，证明：数列是递增数列的充要条件是。
）在的数列中，求使得=0成立的的最小值。
解：（ⅰ0，1，0，1，0是一具满足条件的e数列a5。
答案不唯一，0，1，0，-1，0也是一个满足条件的e的数列a5）
ⅱ）必要性：因为e数列a5是递增数列，所以。
所以a5是首项为12，公差为1的等差数列。所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.
充分性，由于a2000—a1000≤1，a2000—a1000≤1
a2—a1≤1
所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.
故是递增数列。综上，结论得证。
所以有：，，
相加得：，所以在的数列中，使得=0成立的的最小值为9。
福建理。16．(本小题满分13分) 已知等比数列的公比，前3项和．
(ⅰ)求数列的通项公式；
(ⅱ)若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．
解：(ⅰ由得，所以；
ⅱ)由(ⅰ)得，因为函数最大值为3，所以，又当时函数取得最大值，所以，因为，故，所以函数的解析式为。
福建文17．（本小题满分12分）
已知数列中，a1＝1，a3＝－3。（ⅰ求数列的通项公式；
ⅱ）若数列的前k项和sk＝－35，求k的值。
解：（ⅰ由a1＝1，a3＝－3得，所以an＝3－2n；
ⅱ），解得k＝7。
广东理11.等差数列前9项的和等于前4项的和。若，则 .
20.（本小题满分12分）
设数列满足，1)求数列的通项公式；
2)证明：对于一切正整数n,
广东文11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比2
20．（本小题满分14分）
设b>0,数列满足，．
1）求数列的通项公式；
2）证明：对于一切正整数，．解：（1）
湖北理12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。
答案】解析：设该数列的首项为，公差为，依题意。
即，解得，则，所以应该填。
19.（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足：， n*，.
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若存在 n*，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的n*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论。
解：（ⅰ由已知：得，两式相减得，又。
所以当时数列为：，0，0，0，…，当时，由已知，所以，，于是。
所以数列成等比数列，即当时。
综上数列的通项公式为。
ⅱ）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：
当时由（ⅰ）知，此时，，成等差数列；
当时，若存在 n*，使得，，成等差数列，则2=+，由（ⅰ）知数列的公比，于是对于任意的n*，且，所以2=+即，，成等差数列；
综上：对于任意的，且，，，成等差数列。
湖北文17.（本小题满分12分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的、、。
i) 求数列的通项公式；
ii) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。
解：(i)设成等差数列的三个正数分别为；则；
数列中的、、依次为，则；
得或（舍），于是。
ii) 数列的前n项和，即。
因此数列是公比为2的等比数列。
湖南文20．（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m，m的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初m的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初m的价值为上年初的75%．
i）求第n年初m的价值的表达式；
ii）设若大于80万元，则m继续使用，否则须在第n年初对m更新，证明：须在第9年初对m更新．
解析：（i）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以。
因此，第年初，m的价值的表达式为。
ii)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得。
当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又。
所以须在第9年初对m更新．
湖南理12、设是等差数列的前项和，且，则。
答案：25解析：由可得，所以。
江苏13.设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是___
答案：.解析：由题意：，而的最小值分别为1，2，3；.
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题。
20.（本小题满分16分）设m为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于m，当n>k时，都成立。
1）设m=｛1｝，，求的值；（2）设m=｛3，4｝，求数列的通项公式。
答案：（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
2）由题意：，当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得： 成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
解析：本题主要考查数列的概念，通项与前n项和的关系，等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词，转化与化归、考查分析**及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题。
江西理5. 已知数列的前项和满足：，且，那么。
a.1b.9c.10d.55
答案】a解析】，可得，，可得，同理可得，故选a
18. （本小题满分12分）
已知两个等比数列，，满足，，，
1）若，求数列的通项公式；
2）若数列唯一，求的值。
解析】（1）设的公比为，则，由，，成等比数列得，即，解得，
所以的通项公式或。
2） 设的公比为，则由，得。
由得，故方程（*）有两个不同的实根。
由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得。
江西文5.设{}为等差数列，公差d = 2，为其前n项和。若，则=（
a.18 b.20 c.22 d.24
答案：b 解析：
21.(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为。
的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由．
解：（1）要唯一，当公比时，由且，
最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合。
综上：。2）假设存在这样的等比数列，则由等差数列的性质可得：，整理得：
要使该式成立，则=或此时数列，公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列。
辽宁理17．（本小题满分12分）
已知等差数列满足a2=0，a6+a8=-10
（i）求数列的通项公式；
（ii）求数列的前n项和．
i）设等差数列的公差为d，由已知条件可得。
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