数学翁数。
俞新龙。虽然教材中只涉及两类特殊数列，即等差数列与。
等比数列的前ｎ项和，但因为数列求和问题能考查对。
数列的整体认识，对通项公式的理解，能够体现等价转化这一重要数学思想，因此，数列求和一直是高考重要考查内容之一．例如，２０年高考中，全国各省市共１８份（其中江苏文理同卷）理科试卷中，有大纲全国卷、课标全国卷、浙江卷、陕西卷、四川卷、辽宁卷、山东卷和安徽卷共８份试卷考查了数列求和。
因为１＝丽２＝＿一１），所以ａ１＋
．．叶＿＿１一１）＋一１）＋一１）
（１一。凡。
几十又：ａ２所以。
：（＿三一）一，于是。
ｌ眈ａ４ａ问题，占比接近５０％绝对称得上重点考查了！下面，我们就通过分类例析２０１年高考中的数列求和试题，来了解高考中数列求和的一般常见考查方式和解决策略．
掣１－（下略）
卜。评注：上述解析过程中在得到等差数列｝通项后，就可以用等差数列求和公式得其前ｎ项和ｓ ，又。
方法。一、公式法。
公式法通常是求等差数列或等比数列的前ｎ项和。
二＿＝ 一知数列｛ｊ一｝是等比数列。
故可以用。等比数列求和公式求 ．当然，求时是在用下面的方法二：裂项相消法．
问题，等差数列前项和公式为。
例２．（陕西理科１９题）如图，从点ｐｉ（作。
等比数列的前项和 ：
轴的垂线交曲线ｙ＝ｅ于点ｑ （曲线在ｐ 点。
一０例１．（浙江理科１９题）已知公差不为０的等差数列｛的首项ａ。为ａ（ａ设数列的前ｎ项和为。
，且，一１
＿成等比数列（１）求数列｛ａｊ
项公式及ｓ；（记ａ：＋蚤＋．．一＋—ｌ上。
当 ｉ＞时，试比较ａ 与。
一ｒ ｌ厂。
的大小．解析：由（）ｚ得。
因为ｄ≠０所以ｄ：。于是ａｎ－
２离中冀０｛１年第７ ８期。
数学有数。处的切线与轴交于点ｐ２．再从作轴的垂线交曲线于点ｑ：，依次重复上述过程得到一系列点记ｐ＾点的坐标为（机，０）
键．一化为＿２（一 １）是裂项相消法的关。
试求鼽与的关系（２≤
例４．（大纲全国理科 ０题）设数列｛％ｊ满足ｎ＝
）；（求尸。
解析：一（，，由ｙ＝ｅ得ｑ （点。
咀一求｛的通项公式；（２设。
１－ｖ处切线方程为ｙ—ｅ于是，令ｙ＝ｏ得。
记ｓ．－证明：ｓ１
因此，数列｛ｇｃ是首项为 －＝公。
差为一１的等差数列，则 ＝０一１）（一１）一（一１），解析：由等差数列定义知数列｛—一｝是首项为。
所以ｉｌ＝一（ｋ－则数列｛ｌ尸＾ｌ｝是首项为。
公差为１的等差数列，从而根据ｔｌ 可。
公比为的等比数列，故ｉ尸ｌｑ。
鲁．得，穗诮。
％／｝一１，评注：本题是一道交汇导数、函数知识命制的点。删。一。
一寺＋一＋．．嘉。一。
列问题，由瓤得到ｉｒ 后，可以知道－数列｛ｉｒ是等比数列，因此，可以用等比数列求和公式求解ｉ尸１ｑ，尸的值．
另外，还有大纲全国卷文科ｌ７题：“设等比数列｛％｝的前项和为ｓ ，已知求％与。
／叶ｌ、／斛１
评注：将６ 化为—一— 一是裂项相消法的模式特征．
也是公式法求和，答案为ｑｌ＝一，＝３一１），一。
方法。三、分组求和法。
个数列虽然既不是等差数列，也不是等比数。
或。方法一ｉ、裂项相消法。
将通项**成两项或以上的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．
列，但若将它适当拆开分组，则可分为几个等差数列、等比数列或常见数列，于是可以先分别求和，然后再合并求和．
例３．（课标全国理科１７题）等比数列｛的各项均为正数，且２ａ１嘞求数列｛％｝的通项公式；（２设求数列｛｝的前ｎ项和．
例５．（山东卷理科２０题）等比数列｛中，ａ 啦分别是下表第。
一、二、三行中的某一个数，且ａ。，啦中的任何两个数不在下表的同一列。
第一列。第一行。
第二行。第二列２第三列１０
解析：根据基本量思想，解方程组可以得％＝
｝）；或者由劬２＝９得ｑ２＝因为ｑ＞ｏ故。
＝，于是得口。＝１第三行９８ｌ
则 ＝１一（）＝
１）求数列｛％）的通项公式；（２若数列ｆ６ｎ满足：６，一１）叶ｎ ，求数列｝的前ｎ项和 ．
解析：因为当ａｌ＝或ａｌ＝时都不合题意．当ａｌ＝时，当且仅当时符合题意，所以公比ｑ＝３故 ＝２因此６＝２一一一１）￣所以卜１＋１一卜ｌ＋２一１）
因此，ｌ。编＝ｌ。一ｎ，从而可得一１—２一‘咄一。
芋 ，故一＝＿２一１），所以 ＋＋一２ｄ－一１，１一１）一一２（｝一１＿＿一２（１一 １）一 ２ｎ
即数列的前ｎ项和为＿暑．
ｎ３，于是当ｎ为偶数时。
评注 ￣，时在用等差数列求和公式，将。
馥。－ｓｚ枯。
妇蝴。数学有数。
ｎ３—当ｎ为奇数时，ｓ２一（１ｎ一一。
例７．（四川理科２０题）设ｄ为非零实数，％＝
写出，ａ２啦并判断｛％｝是否为等比数列．若是，给出证明；
为偶数。综上所述．ｓ．
列 ｝的前ｎ项和 ．
若不是，说明理由．（２设求数。
≯ｌｎ一ｌｎ２为奇数。
评注：在得到ｂｎ＝一１）（一ｌｎ３一１）吲ｎ３后，就可以确定应分三个数列分另求和．然后再合并。
解析：由￣－－知所以ｓ．－
一当。一１时，ｓ－当ｄ≠１时，①式两边同乘ｄ＋ｌ得。
求和的方法进行，当然，由于通项中含有（一１），因此要对ｎ按奇数、偶数两种情况讨论．
例６．（安徽理科ｌ８题）在数１和１００之间插入ｎ个实数，使得这（，ｈ个数构成递增的等比数列，将这（ｎ＋个数的乘积记作 ，再令求数列｛ｏｄ的通项公式；（２设求数列｛６｝的前ｎ项和ｓ．
凡一１）（ｄ＋１一得。
一。１）１一。
（ｄ＋化简得ｓｎ＝一１）＋
评注：当ｄ≠一１时，｛６是等差数列｛ｎｌ乘等比数列｛ａｎ结构，故用错位相减法求和．
解析：设ｔ，ｔ构成等比数列，其中。则。
例８．（辽宁理科１７题）已知等差数列｛｝满足。
一１０．求数列｛｝的通项公式；（２求数列｛—｝的前ｎ项和．
并利用其中ｐ ＝得 ＝（针。
解析：由基本量思想可得％ ２一ｎ，所以 ：１
于是１０＂所以故。
得ｔａｎ棚）．由卅＝
一一一。生。
一１于是。）‘（争）①，式两边同乘争得，①导，ｉｓ
争）＋（一１）（争争）＋（一ｎ）（争）
＋…＋一一一１＝
＋（一１）．一一。
）（１一１）（一（２一ｎ）（了１）ｎ
皇（±三）＝！垒望三一。
评注：仔细分析本题的解决可以发现不仅用到了分组求和，也用到了裂项相消思想，同时，在求时还用到了倒序相乘思想．想到两角差的正切公式变。
形是解题的关键．
（２１抄－－ｌ
）．（故ｓｎ＝
评注：数列｛—
此外，重庆文科１６题：“设｛｝是公比为正数的等比数列求｛‰｝的通项公式；（２
是等差数列｛２一ｎ）乘等比数列。
设（６｝是首项为１，公差为２的等差数列，求数列｛％＋
｝的前ｎ项和 ．”显然是用分组求和的典型结构，答案是。
（）｝的结构，故用错位相减法求和．
通过整理，不难发现除了倒序相加法外，中学常。
见数列求和方法基本都考查到了．分析本文不同求和。
方法。四、错位相减法。
这是在推导等比数列的前ｎ项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛％ｂ的前ｎ项和，其中｛ｌ，分别是等差数列和等比数列．
方法可以看出．数列求和方法选择的恰当与否关键是根据通项公式的特征，确定数列求和的方法．
责任编校。根据数列中各项的特点，归纳出数列的通项，然后再。
作者单位：浙江省绍兴县越崎中学）
徐国坚。璃啦２０｛年第７ ８期。
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