数列一、选择题。
1、（2023年浙江高考）如图，点列分别在某锐角的两边上，且。
p≠q表示点p与q不重合)
若，为的面积，则（ ）
a.是等差数列 b.是等差数列 c.是等差数列 d.是等差数列。
答案】a二、填空题。
1、（2023年江苏省高考）已知是等差数列，sn是其前n项和。若a1+a22=3，s5=10，则a9的值是 ▲
答案】2、（2023年上海高考）无穷数列由k个不同的数组成，sn为的前n项和。若对任意的，则k的最大值为 .
答案】4三、解答题。
1、（2023年北京高考）已知是等差数列，是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设cn= an+ bn，求数列的前n项和。
解：（i）等比数列的公比，所以，．
设等差数列的公差为．
因为，所以，即．
所以（，，ii）由（i）知，，．
因此．从而数列的前项和。
2、（2023年江苏省高考）
记。对数列和的子集t，若，定义；若。
定义。例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
1）求数列的通项公式；
2）对任意正整数，若，求证：；
3）设，求证：.
1）由已知得。
于是当时，.
又，故，即。
所以数列的通项公式为。
2）因为，所以。
因此，.3）下面分三种情况证明。
若是的子集，则。
若是的子集，则。
若不是的子集，且不是的子集。
令，则，，.
于是，，进而由，得。
设是中的最大数，为中的最大数，则。
由（2）知，，于是，所以，即。
又，故，从而，故，所以，即。
综合①②③得，.
3、（2023年山东高考）已知数列的前n项和，是等差数列，且。
i）求数列的通项公式；
ii）令。求数列的前n项和。
解析】（ⅰ由题意得，解得，得到。
ⅱ）由（ⅰ）知，从而
利用“错位相减法”即得。
试题解析：（ⅰ由题意当时，，当时，；所以；设数列的公差为，由，即，解之得，所以。
ⅱ）由（ⅰ）知，又，即。
所以，以上两式两边相减得。
所以。4、（2023年上海高考）对于无穷数列{}与{}，记a=，b=，若同时满足条件：①{均单调递增；②且，则称{}与{}是无穷互补数列。
1）若=，=判断{}与{}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若=且{}与{}是无穷互补数列，求数列{}的前16项的和；
（3）若{}与{}是无穷互补数列，{}为等差数列且=36，求{}与{}得通项公式。
解析：（1）因为，，所以，从而与不是无穷互补数列．
2）因为，所以．
数列的前项的和为。
3）设的公差为，，则．
由，得或．若，则，，与“与是无穷互补数列”矛盾；
若，则，，．
综上，，．5、（2023年四川高考）已知数列的首项为1， sn为数列的前n项和，sn+1=sn+1，其中q﹥0，n∈n+
ⅰ)若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列的通项公式；
ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，解析：（ⅰ由已知， 两式相减得到。
又由得到，故对所有都成立。
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列。
从而。由成等差数列，可得，所以，故。
所以。ⅱ）由（ⅰ）可知，.
所以双曲线的离心率。
由解得。所以，6、（2023年天津高考）已知是等比数列，前n项和为，且。
ⅰ)求的通项公式；
ⅱ)若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和。
解析：（ⅰ解：设数列的公比为，由已知有，解之可得，又由知，所以，解之得，所以。
ⅱ）解：由题意得，即数列是首项为，公差为的等差数列。
设数列的前项和为，则。
7、（2023年全国i卷高考）已知是公差为3的等差数列，数列满足。
i）求的通项公式；
ii）求的前n项和。
解：（i）由已知，得得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为。
ii）由（i）和 ，得，因此是首项为1，公比为的等比数列。记的前项和为，则。
8、（2023年全国ii卷高考）等差数列{}中，.
ⅰ）求{}的通项公式；
ⅱ） 设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
解析：(ⅰ设数列的公差为d，由题意有，解得，所以的通项公式为。
ⅱ）由(ⅰ)知，当1,2,3时，；
当4,5时，；
当6,7,8时，；
当9,10时，所以数列的前10项和为。
9、（2023年全国iii卷高考）已知各项都为正数的数列满足，.
i）求；ii）求的通项公式。
10、（2023年浙江高考）设数列{}的前项和为。已知=4，=2+1，.
i）求通项公式；
ii）求数列{}的前项和。
解析：（1）由题意得：，则，又当时，由，得，所以，数列的通项公式为。
2）设，，.
当时，由于，故。
设数列的前项和为，则。
当时，所以，.
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