2023年高考数学理科函数大题专项训练。
1．（本小题满分12分）
已知数列满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an（n∈n+）
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式。
答案．（1）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列。
（2）解：由（1）得[**：学科网]
2.（12分）已知数列的前n项和sn=kcn-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.
1)求an;
2)求数列的前n项和tn.
答案。解：(1)由sn=kcn-k,得an=sn-sn-1=kcn-kcn-1(n≥2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得所以a1=s1=2,an=kcn-kcn-1=2n(n≥2),于是an=2n.
2)tn=iai=i·2i,即。
tn=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,tn=2tn-tn=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.
3．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，且满足：， n*，．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若存在 n*，使得，，成等差数列，是判断：对于任意的n*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论．
4．（本小题满分16分）
已知数列满足，，，是数列的前项和．
1)若数列为等差数列．
ⅰ）求数列的通项；
ⅱ）若数列满足，数列满足，试比较数列前项和与前项和的大小；
2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
答案．(1)（ⅰ因为，所以，即，又，所以2分。
又因为数列成等差数列，所以，即，解得，所以4分。
ⅱ）因为，所以，其前项和，又因为5分。
所以其前项和，所以，……7分。
当或时，；当或时，；
当时9分。2）由知，两式作差，得10分。
所以，作差得， …11分。
所以，当时，；
当时，；当时，；
当时，；…14分。
因为对任意，恒成立，所以且，所以，解得，，故实数的取值范围为．…16分。
5．（本小题满分13分）
已知函数，（＞0，，以点为切点作函数图像的切线，记函数图像与三条直线所围成的区域面积为。
ⅰ）求；ⅱ）求证：＜；
ⅲ）设为数列的前项和，求证：＜.
6．（本题满分13分）
已知是正数，，，
ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；
ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；
ⅲ）若，，（且，，的整数部分分别是求所有的值．
解：（ⅰ由已知得=．
因为成等差数列，所以，则，因为，所以，即，则，即，当且仅当时等号成立．
………4分。
ⅱ）解法1：令，依题意，且，所以．
故，即；且，即．
所以且．故三个数中，最大．
解法2：依题意，即．
因为，所以，，．
于是，所以，．
因为在上为增函数，所以且．
故三个数中，最大8分。
ⅲ）依题意，，，的整数部分分别是，则，所以．
又，则的整数部分是或．
当时，；当时，．
1） 当时，，，的整数部分分别是，所以，，．所以，解得．
又因为，，所以此时．
2）当时，同理可得，，．
所以，解得．又，此时．
3）当时，同理可得，同时满足条件的不存在．
综上所述13分。
7（8分）．已知数列满足，且（n2且n∈n）
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设数列的前n项之和，求，并证明：．
答案．（ⅰ略。
8．（本小题满分12分）
在公差不为零的等差数列{}中，已知a1=l，．且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{}满足．
（i）求的通项公式；
（ⅱ）设数列{}的前n项和为sn，试比较sn与1一的大小．
解：(ⅰ因为，且依次成等比数列，所以，即，所以，解得（不合要求，舍去）.
所以。因为，所以。
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以。所以6分）
于是。所以，当时，，
当时，， 12分）
9.设等差数列的前项和为，已知，.
1）求；2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.
当取最小值时，求的通项公式；
若关于的不等式有解，试求的值。
10. (本小题满分16分)
设数列的各项均为正实数，，若数列满足，，其中为正常数，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得当时，恒成立？若存在，求出使结论成立的的取值范围和相应的的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）若，设数列对任意的，都有。
成立，问数列是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由。
11．（本小题满分14分）
设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．
1）求数列的通项公式；
2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和．
12．已知等差数列满足的前项和为。
1）求及；（2）令，求数列的前项和。
答案。 解：（1）设等差数列的首项为，公差为1分。
由，解得5分。
由于，所以． …7分。
2）因为，所以，因此．…9分。
故， …13分。
所以数列的前n项和14分。
13．已知等比数列满足。
1）求数列的通项公式；
2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列。
设，求数列的前项和；
在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？求出这样的三项；若不存在，说明理由。
答案解：（1）由已知，，所以，两式相减得，，解得3分。
又，解得5分。
故 ……6分。
2）由（1），知 ……7分。
8分。……10分。
故11分。假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，则，即13分。
因为成等差数列，所以，（*代入上式得：，（
由（*）得，这与题设矛盾15分。
所以，在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．…16分。
14.（本小题满分16分）
已知正项数列的前项和为，且。
1）求的值及数列的通项公式；
2）求证： ；
3）是否存在非零整数，使不等式。
对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
答案 （1）由。
当时，，解得或（舍去）． 2分。
当时，由，，∴则，是首项为2，公差为2的等差数列，故． …4分。
2）证法一：∵
……4分。当时，
… 7分。当时，不等式左边显然成立8分。
证法二：∵，
∴.…4分。
当时， ……7分。
当时，不等式左边显然成立。 …8分。
3）由，得，设，则不等式等价于。
……9分 ∵，∴数列单调递增10分。
假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则。
当为奇数时，得； …11分。
当为偶数时，得，即。 …12分。
综上，，由是非零整数，知存在满足条件．… 14分。
15、在数列中，，．
1）设，求数列的通项公式；
2）求数列的前项和．
答案解：（1）由已知得b1=a1=1，且 = 即bn+1=bn+，从而b2=b1+，…1分。
b3=b2+，bn=bn﹣1+（n≥2）．…3分。
于是bn=b1+++2﹣（n≥2）．
又b1=1，故所求的通项公式为bn=2﹣．…6分。
2）由（1）知an=2n﹣，故sn=（2+4+…+2n）﹣（1+++设tn=1+++
tn8分。﹣②得，tn=1+++
﹣=2﹣﹣，10分。
tn=4﹣．
sn=n（n+1）+﹣4．……12分。
16．（本题满分12分）
已知为等差数列，且a4=14，a5+a8=48．
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设sn是等比数列的前n项和，若b1=a1，且3s1，2s2，s3成等差数列，求s4．
答案解：（i）设的公差为d，则由题知。
解得a1=2，d=44分。
an=2+4(n-1)=4n-26分。
ii）设的公比为q，若q=1，则s1=b1，s2=2b1，s3=3b1，由已知，代入得8b1=4b1，而b1≠0，故q=1不合题意．
7分。若q≠1，则s1=b1，于是。
整理得：4q2=3q+q3，解得q=0（舍去），q=1（舍去），q=3， …10分。
12分。17．（本题满分13分）
数列满足，（）
1）设，求数列的通项公式；
2）设，数列的前项和为，求。
答案：略。18（本小题满分12分）
已知等差数列的首项，公差，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
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