数列。浙江省黄岩中学金克勤（318020）
一、教学要求与考查要求。
数列作为中学数学中的重要内容，在新课程中有明确的教学要求，要求了解数列的概念和几种简单的表示方法，了解数列是一种特殊的函数．数列教学的要以内容是等差数列与等比数列，理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和的公式，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
数列是高考的重要内容之一，主要考察数列的概念和几种表示方法，重要是等差数列一等比数列，要求理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和的公式，了解等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系，能利用等差、等比数列前项和公式及其性质求一些特殊数列的和，能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题．
二、数列的命题特点与和知识类型。
数列在高考试卷中占的比重较大，分值占10%～15%，大多数省份的数学试题中数列呈一大一小趋势，着重对等差数列和等比数列的考查，纵观近几年浙江省高考试题，我们会发现浙江考题与全国卷、其他省市卷数列题有区别，具有十分明显的特色，前几年只考小题，2023年只考大题，共14分占10%左右．浙江卷对数列的考查主要着眼于数列的基础知识与基本方法，作为中档题，回避了递推数列和复杂的不等关系的论证，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成浙江卷数列题的特色．
从全国卷和其他省市卷的数列题分析，客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．，其他省份数列都有一个大题出现，且以中等和难度较大的综合题出现，其中重庆和北京将数列放在压轴题的位置．从知识类型上看，数列的考查主要内容为（1）等差数列、等比数列的概念与基本运算，（2）数列的通项及通项与前n项和关系的运用，（3）等差数列与等比数列的判断与证明，（4）等差数列与等比数列前n项和及可利用错位相减法或裂项法求和的数列前n项和，（5）简单的递推关系，（6）数列与不等式、三角函数等联系．回顾浙江省单独命题以来，对数列的考查可以说是逐渐发展提高的过程，从只考小题，到只考大题，而大题以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．
纵观今年的数列题，体现常考常新，每年命题很有新意，不落浴套，考生看到这样的考题，初看亲切、熟悉，但顺利解决很须动一番脑筋，需要有扎实的数学功底，极强的推理运算和论证能力．这类试题对概念和思维的考查力度较大，对学生探索能力、思维能力、运算能力和推理论证能力要求较高，具有较强的选拔功能．以数列题考查运算能力与推理论证能力成为浙江卷的一大特点．
三、亮点扫描。
1.重视基本概念的考查。
例1（上海理）设{}是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形面积（1，2，…）则{}为等比数列的充要条件是（ ）
a）{}是等比数列；
b），，或，，…是等比数列；
c），，和，，…均是等比数列；
d），，和，，…均是等比数列且公比相同．
分析：本题考查的是等比数列与充要条件两个概念，本题的亮点在于不是简单地考查等比数列的概念，而是在矩形面积这样一个问题的背景下去考查学生掌握概念的准确性，四个选择支都带有一定的代表性，反映上学生认识上存在的问题．设，则，根据等比数列的定义，{}为等比数列的充要条件是是同一个常数，于是正确的选项为d．
2.突出基本公式的运用。
例2 （湖南理）设是等差数列{}的前n项和，且=1，＝7，则＝
分析：本题没有一点矫揉造作，直接明了地考查等差数列的基本内容，，而，所以；同样，，本题的背景是数列1，3，5，7，9，…
例3 (天津文) 已知{}为等差数列，为其前项和，，若，则的值为___
分析：这题同样是直接考查等差数列中的基本运算，不需要任何技巧，直接进行运算．设化差为，则，，解得，，于是．返朴归真用最基本的方法解决基本问题，是高考解题的重要原则．
3.强调性质的灵活运用。
例4（天津理）在等差数列{}中，，则。
分析：本题是考查等差数列性质：若，则，直接运用性质便可得＝．
例5（江西理）已知数列{}的前项和满足：,且，那么＝(
（a） 1b） 9c） 10d） 55
分析：本题的亮点在于给出的条件，而求，所采用的方法为特殊化：令，于是，，故，选择a．
4.紧扣考纲要求考查重点内容。
考纲中明确指出数列的重点是对等差数列、等比数列概念及性质的考查，各地试卷很好地体现了考纲的精神．
例6（浙江理）已知公差不为0的等差数列{}的首项为，设数列的前n项和为，，，成等比数列．
ⅰ）求数列{}的通项公式及；
ⅱ） 记，，当n≥2时，试比较与的大小．
分析：本题的最大亮点是题目简洁，表达朴素，内涵丰富．考查了等差数列、等比数列的概念、通项公式，前n项和公式，也考查了其他数列（能裂项相消）的前n项和，结合不等式的知识，考查了二项式定理，数学归纳法等内容．
i）设等差数列{}的公差为，由，得，这里实际上蕴含着这样一个性质：若，，成等比数列，则，，也成等比数列．因，所以．所以，．
ii）因为，所以＝，因为，所以＝＝＝要比较与的大小，实际上是比较与的大小，可以用数学归纳法或二项式定理来比较与的大小．如当时，，即，所以当时，；当时，．
例7（江苏理）设为部分正整数组成的集合，数列{}的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．
i）设＝，，求的值；
ii）设＝，求数列{}的通项公式．
分析：本题的亮点是以数列为背景，构造出递推关系，通过与的关系分析，求等差数列的通项，本题的表述新颖，所有的内容仅涉及到等差数列的概念和性质，对学生的运算能力和分析问题能力要求较高．
（i）因，当时，，所以，两式相减得，所以，当时，{}成等差数列．这里用到了数列{}成为等差数列的一个条件．而，所以，而，于是，所以．
（ii）由题意：当时，①，当时，②，因此当时，有③；
同理当时，④，当时，⑤，两式相减得：．⑥
由①④可得：⑦，由②⑤可得：⑧，由⑦⑧可得：
，，成等差数列，，，成等差数列；设公差分别为，，则＝⑨，由⑨⑩得：，，且，所以当时{}成等差数列，设其公差为，在①②中分别取，得：，，所以，，所以．
在本题中虽然仅涉及等差数列的知识，但递推关系错综复杂，如果没有清晰的概念指引，是很难厘清它们之间的关系的，对学生分析问题的要求比较高．
5.注重在知识交汇处考查。
例8（江苏理）设，其中，，，成公比为的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则的最小值是。
分析：本题的亮点在于当等差数列、等比数列与不等式结合起来，在知识的交汇点上进行考查，这是高考试题的一个特点．
由题意我们可以知道：，即，要使最小，因使最小，于是，所以．
例9（安徽理）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记做，再令，
ⅰ）求数列{}的通项公式；
ⅱ）设，求数列{}的前项和．
分析：本题的亮点是结合等差数列与等比数列的考查，同时在对数和指数的运算，两角差的正切公式的运用，当数列求和与三角变换有机地结合起来，考查学生灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．
i）设，，…构成等比数列，其中＝1，＝100，则。
··…且＝··所以。
利用等比数列性质（），得所以＝，．
ii）由题意和（i）中计算结果，知，，由于。
所以。所以＝＝＝
例10（广东理）设，数列{}满足，（）
i）求数列{}的通项公式；
ii）证明：对于一切正整数n,．
分析：本题的亮点是在考查的为数列与不等式的相关知识的同时，注重思想方法的考查，特别是考查变换能力，能否将已知的递推关系转化成等差或等比数列的关系；考查分类的思想，因为当时，{}是等差数列，而当时，{}是等比数列；考查归纳猜想证明的方法，考查待定系数法，考查证明中的分析法和综合法，以及数学归纳法．通过表述简洁的题目考查学生多方面的能力是高考命题的指导思想．
i）方法一（变换法）：由，可得，（1）当时，，则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，从而．
2）当时，可通过待定系数法得，于是数列{}是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，综上．
方法二（归纳猜想）：（1）当时，，则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，从而．（2）当时，，，猜想．下面用数学归纳法证明．
当时猜想显然成立；②假设当时，，则当时，，所以当时，猜想成立，由①②知，对于任意，．
ii）当时，，，所以，从而原不等式成立；
当时，要证明，只需证，即证，即证，即证。
因为。+…+所以当，原不等式也成立，从而原不等式成立．
四、复习建议。
1．夯实基础知识。
1） 数列的概念。
了解数列的概念及其表示方法．掌握数列前项和与第项之间的关系：，给出与数列的前项和有关的问题，能根据这一关系求出数列的通项公式．
2）等差数列。
掌握等差数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等差数列．掌握等差数列的通项公式；推广形式为an=am+(n-m)d.掌握等差数列的前n项和公式．掌握一个数列成为等差数列的充要条件，如，及等．
掌握等差数列的基本性质，如若，则，以及，，，成等差数列等．
3）等比数列。
掌握等比数列的定义，能够根据定义判定一个数列是否为等比数列．掌握等比数列的通项公式；推广形式为．掌握等比数列的前项和公式．
掌握等比数列的基本性质：如若，则，以及，，，成等比数列．
2．掌握基本方法。
1）基本量法：由于等差、等比数列是由首项与公差、公比确定的，因此，大凡涉及等差、等比数列的数学问题，总可以通过等差、等比数列的基本量结合相关的知识去解决问题．运用基本量法必须与数列的性质密切配合，只有这样才能达到灵活应用的程度，才能发挥无穷的活力．两个重要数列问题都可以运用基本量法解决，不要人为地追求技巧，要返朴归真． （2）掌握求数列通项公式的常见求法：观察归纳法、累加消项法、累积消项法、迭代法等。
已知数列的前几项，写出它的一个通项公式时，通常用观察法，然后归纳猜想．观察是一切能力的基础，在数列学习中显得尤其重要珍贵．
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