2023年高考数学试题分类汇编（数列）
重庆文。1）在等比数列中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为。
a）2b）3c）4d）8
重庆理。(21)(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且。
1）求{}的通项公式；
2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：
21）（本小题12分）
ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，由假设a1＝s1＞1，因此a1＝2。
又由an+1＝sn+1- sn＝，得an+1- an-3＝0或an+1＝-an
因an＞0，故an+1＝-an不成立，舍去。
因此an+1- an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。
ⅱ）证法一：由可解得。
从而。因此。
令，则。因，故。
特别的。从而，即。
证法二：同证法一求得bn及tn。
由二项式定理知当c＞0时，不等式。
成立。由此不等式有。
证法三：同证法一求得bn及tn。
令an＝，bn＝，cn＝。
因，因此。从而。
1）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
a．3 b.4 c. 5 d. 6
14）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则。
浙江理。21）（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
）求，，，）求数列的前项和；
ⅲ）记，求证：．
21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
i）解：方程的两个根为，当时，所以；
当时，所以；
当时，所以时；
当时，所以．
ii）解：
iii）证明：，所以，当时，同时，
综上，当时，．
浙江文。19)(本题14分)已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程。
的两个根，且≤ (k ＝1，2，3，…)
(i)求及(n≥4)(不必证明)；
(ⅱ)求数列{}的前2n项和s2n．
19)本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．
(i)解：方程的两个根为．
当k＝1时，，所以；
当k＝2时，，所以；
当k＝3时，，所以；
当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以。
天津理。8．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
13．设等差数列的公差是2，前项的和为，则 ．3
21．（本小题满分14分）
在数列中，，其中．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
21．本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
ⅰ）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
1）当时，，等式成立．
2）假设当时等式成立，即，那么。
这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
ⅱ）解：设， ①
当时，①式减去②式，得，这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
由知，要使③式成立，只要，因为。
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
天津文。20）（本小题满分12分）
在数列中，，，
ⅰ）证明数列是等比数列；
ⅱ）求数列的前项和；
ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
ⅰ）证明：由题设，得。
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
ⅱ）解：由（ⅰ）可知，于是数列的通项公式为。
所以数列的前项和．
ⅲ）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立．
四川文。7）等差数列中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和sn=100,则n=
a)9b)10c)11d)12
22）(本小题满分14分)
已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,n +）其中为正实数。
ⅰ）用xx表示xn+1；
ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，tn是数列｛bn｝的前n项和，证明tn<3.
解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．
ⅰ）由题可得．
所以曲线在点处的切线方程是：．
即．令，得．
即．显然，∴．
ⅱ）由，知，同理．
故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．
从而。所以。
ⅲ）由（ⅱ）知，当时，显然．
当时， 综上， ．
上海理。20、若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项。
2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和。
上海文。14．数列中， 则数列的极限值（ ）
ａ．等于等于等于或不存在。
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
20．解：（1）设数列的公差为，则，解得，数列为．
由题意得是首项为，公差为的等差数列．
当时， 当时，
综上所述。陕西理。
5.各项均为正数的等比数列的前n项和为sn，若sn=2,s30=14,则s40等于。
a）80 （b）30c)26d)16
22. (本小题满分12分)
已知各项全不为零的数列的前k项和为sk,且sk＝n*),其中a1=1.
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.
求b1+b2+…+bn.
22．（本小题满分12分）
解：（ⅰ当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
．故．ⅱ）因为，所以．所以。故。
陕西文。5.等差数列的前n项和为sn，若。
a）12b）18c）24d）42
20. (本小题满分12分)
已知实数列等比数列，其中成等差数列。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)数列的前项和记为证明：＜128…).
20．（本小题满分12分）
解：（ⅰ设等比数列的公比为，由，得，从而，，．
因为成等差数列，所以，即，．所以．故．
山东理。17）（本小题满分12分）
设数列满足，．
ⅰ）求数列的通项；
ⅱ）设，求数列的前项和．
i) 验证时也满足上式，
ii)，山东文。
18．（本小题满分12分）
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
1）求数列的等差数列．
2）令求数列的前项和．
18．解：（1）由已知得。
解得．设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，解得．
由题意得．故数列的通项为．
2）由于。由（1）得。
又。是等差数列．
故．全国2理。
21．（本小题满分12分）
设数列的首项．
1）求的通项公式；
2）设，证明，其中为正整数．
21．解：（1）由。
整理得 ．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得。
（2）方法一：
由（1）可知，故．
那么， 又由（1）知且，故，因此为正整数．
方法二：由（1）可知，因为，所以 ．
由可得，即
两边开平方得 ．
即为正整数．
全国2文。14．已知数列的通项，则其前项和。
17．（本小题满分10分）
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
17．解：由题设知，则 ②
由②得，因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
全国1理。15）等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ．
22）（本小题满分12分）
已知数列中，，．
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）若数列中，证明：，．
22）解：ⅰ）由题设：
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，．
ⅱ）用数学归纳法证明．
ⅰ）当时，因，，所以。
结论成立．ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．
当时，又，所以
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
全国1文。21）（本小题满分12分）
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
ⅰ）求，的通项公式；
ⅱ）求数列的前n项和．
21．解：ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且。
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