1、（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，5，=10，则=（a）
a) (b) 7 (c) 6 (d)
2、（2010湖北文数）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则（c）
a. bcd
3、（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方。
所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
4、（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
答案：5、（2010天津文数）（15）设是等比数列，公比，sn为的前n项和。记设为数列{}的最大项，则。
答案】4解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时tn有最大值。
温馨提示】本题的实质是求tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解。
6、 （2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5
解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。
7、（2010上海文数）已知数列的前项和为，且，1)证明：是等比数列；
2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数。
解析：(1) 当n1时，a114；当n≥2时，ansnsn15an5an11，所以，又a1115≠0，所以数列是等比数列；
2) 由(1)知：，得，从而(nn*)；
由sn1>sn，得，，最小正整数n15．
8、（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）
已知是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列。
（ⅰ）求数列的通项求数列的前n项和sn.
解 （ⅰ由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去）， 故的通项an＝1+（n－1）×1＝n.
(ⅱ)由（ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得。
sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
9、（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且。
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设，求数列的前项和。
解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
2）由（1）中求得数列通项公式，可求出bn的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
38、（2010江西理数）22. （本小题满分14分）
证明以下命题：
1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△，其边长为正整数且成等差数列。
解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。
（1）考虑到结构要证，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当成等差数列，则，分解得：
选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解。
对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。
下证互不相似。
任取正整数m，n，若△m，△相似：则三边对应成比例，
由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
39、（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)
设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数，圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列。
ⅰ)证明：为等比数列；
ⅱ）设，求数列的前项和。
命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力。
解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即中与的关系，证明为等比数列；（2）利用（1）的结论求的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和。
方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论。对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和乘以公比，然后错位相减解决。
40、（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（ⅰ小问6分，（ⅱ小问7分。 ）
已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和。
ⅰ）求通项及；
ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和。
41、（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和为sn，满足+15=0。
ⅰ）若=5，求及a1；
ⅱ）求d的取值范围。
42、（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（i）小问5分，（ii）小问7分）
在数列中，=1，，其中实数。
i） 求的通项公式；
ii） 若对一切有，求c的取值范围。
43、（2010山东文数）（18）（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，.的前n项和为。
求及；ⅱ）令（）,求数列的前n项和。
44、（2010北京文数）（16）（本小题共13分）
已知为等差数列，且，。
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式。
解：（ⅰ设等差数列的公差。
因为。所以解得。
所以。（ⅱ）设等比数列的公比为。
因为。所以即=3
所以的前项和公式为。
45、（2010北京理数）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ) 设p，p中有m(m≥2)个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为(p).
证明：（p）≤.
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（i）设，因为，，所以， 从而。又。
由题意知，，.
当时，;当时，所以。
ii)设，，，
记，由（i）可知。
所以中1的个数为，的1的。
个数为。设是使成立的的个数，则。
由此可知，三个数不可能都是奇数，即，三个数中至少有一个是偶数。
iii）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=由于。
所以。从而。
46、（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）
已知数列满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈n*都有。
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2
ⅰ）求a3，a5；
ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈n*)，证明：是等差数列；
ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈n*)，求数列的前n项和sn.
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6
再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝202分。
2)当n∈n *时，由已知(以n＋2代替m)可得。
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8
即 bn＋1－bn＝8
所以是公差为8的等差数列5分。
3)由(1)(2)解答可知是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列。
则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2
另由已知(令m＝1)可得。
an＝-(n－1)2.
那么an＋1－an＝－2n＋1
2n＋12n
于是cn＝2nqn－1.
当q＝1时，sn＝2＋4＋6＋……2n＝n(n＋1)
当q≠1时，sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……2n·qn－1.
两边同乘以q，可得。
qsn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……2n·qn.
上述两式相减得。
(1－q)sn＝2(1＋q＋q2＋……qn－1)－2nqn
2·－2nqn
所以sn＝2·
综上所述，sn12分。
47、（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）
在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.
ⅰ）证明成等比数列；
ⅱ）求数列的通项公式；
ⅲ）记，证明。
解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
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