将2023年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。
1.(安徽理科第18题，文科第21题）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设求数列的前项和。
解：（1）设这个实数组成的数列为，则，由等比数列的性质有。
而这个数构成递增的等比数列，
2）由可得：
所以。所以。
2(安徽文科第7题）若数列的通项公式是，则。
a） 15b) 12cd)
7）a【命题意图】本题考查数列求和。属中等偏易题。
解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：，故。故选a.
3.（北京理科第11题）在等比数列中，，，则公比。
解：可求得，，
4.（北京理科第20题）若数列满足，数列为数列，记=.
1）写出一个满足，且的数列；
2）若，n=2000，证明：e数列是递增数列的充要条件是=2011；
3）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的e数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的e数列；如果不存在，说明理由。
解；（1）可以用树图结构写出满足条件的数列，答案不唯一，如：等都是符合条件的数列。
2）必要性：因为e数列是递增数列，所以，故是首项为12，公差为1的等差数列，
充分性：由已知条件得：
以上各式相加得：，又=2011，故以上各等号同时成立。
故，从而数列为递增数列。
3）令，以上各式相加得：
因为，为偶数， 为偶数。
0则必须为偶数，即是4的倍数，或。
当时，数列满足条件，当时，
数列满足条件，当时，满足条件的数列不存在。
5.（北京文科12）在等比数列中，若则公比。
答案： 6.（北京文科20）若数列满足，则称为数列。记。
1）写出一个数列满足；
2）若，证明：数列是递增数列的充要条件是；
3）在的数列中，求使得成立的的最小值。
解：（1）0,1,0,1,0；0，-1,0,1,0等，答案不唯一。
2）必要性：因为e数列是递增数列，所以，故是首项为12，公差为1的等差数列，
充分性：由已知条件得：
以上各式相加得：，又=2011，故以上各等号同时成立。
故，从而数列为递增数列。
其中，因此对的数列中使得的。
而数列符合题意，故的最小值为9.
7.（福建文科17）已知等差数列中，
i）求数列的通项公式；
ii）若数列的前k项和，求k的值。
解：（1）；（2）。
8.（广东11）等差数列前9项的和等于前4项的和．若，，则。
方法1：由得，求得，则，解得。
方法2：由得，即，，即，即。
9.（广东文科11）已知是递增等比数列，, 则此数列的公比
解：，即，又数列为递增数列，舍）
10.（湖北理科13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节。
的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积。
为升。答案】
解析：设该数列的首项为，公差为，依题意。
即，解得，则，所以应该填。
11.（湖北理科19）已知数列的前项和为，且满足： ，n*，.
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若存在，使得，，成等差数列，试判断：对于任意的，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论。
解：（1）由已知可得：，两式相减可得：
即，又，所以当时，数列为，当。
时，由已知，，，成等比数列。
时，，数列的通项公式为。
2）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：
由(1)知，当时，数列为，结论显然成立，当时，，由，，成等差数列知， ，化简得：，即。
而，，此时时，即成等差数列。
12.（湖北文科9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为。
a.1升 b.升 c.升 d.升。
答案：b13.（湖北文科17）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的、、。
i) 求数列的通项公式；
ii) 数列的前n项和为，求证：数列是等比数列。
解：（1）设成等差数列的三个数分别是，依题意得。
解得，则数列的分别是， ，它们成等比数列，则，化简得：，解得：或，数列为正数数列，，的分别是，公比为。
2）数列是以为首项，为公比的等比数列，其前项和为，所以数列是等比数列。
14.（湖南理科12）设是等差数列的前项和，且，则。
答案：25解析：由可得，所以。
15.（湖南文科20）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备m，m的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初m的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初m的价值为上年初的75%．
i）求第n年初m的价值的表达式；
ii）设若大于80万元，则m继续使用，否则须在第n年初对m更新，证明：须在第9年初对m更新．
解析：（i）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列．
当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以。
因此，第年初，m的价值的表达式为。
ii)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得。
当时，当时，因为是递减数列，所以是递减数列，又。
所以须在第9年初对m更新．
16.（江西理科5）已知数列的前项和满足：,且，那么( )
a. 1b. 9c. 10d. 55
答案：a 解析： 令，则，是等差数列，则有。
17.（江西理科18）已知两个等比数列，，满足。
1）若=1，求数列的通项公式；
2）若数列唯一，求的值。
解：（1）当时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知：，同时又有所以：
2）要唯一，当公比时，由。
且，(* 恒成立，此时(*)式有两个不同的实数解，若要使（*）式符合条件的解只有一个，则方程必有一个根为零，当公比时，。等比数列首项为，此时。
综上：。18.（四川理科8）数列的首项为，为等差数列且。若则，，则。
a）0b）3c）8d）11
答案：b解析：为等差数列，设公差为，则，
19.（四川理科20）设为非零实数，1)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
2)设，求数列的前项和．
解析：（1）
当时， 其中，将上式代入中得：
当时，上式对也成立，且，
此时，数列是以为首项，为公比的等比数列；
当时，，时，，不是等比数列。
（2）当时，，当时，，此时数列的前项和。
当时，， 式乘以得：
式得： 综合以上两种情况可得：
20.（四川文科9）数列的前项和为，若，（）则。
（abcd）
答案：a解析：由，得（），相减得=3= 3，则（n≥2），而，，则，选a．
21.（四川文科20）已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和．
1）当、、成等差数列时，求q的值；
2）当、、成等差数列时，求证：对任意自然数k，、、也成等差数列．
本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．
解：（1）由已知，，因此，，．
当、、成等差数列时，，可得．
．解得．2）若，则的每项，此时、、显然成等差数列．
若，由、、成等差数列可得，即．
整理得．因此，．
所以，、、也成等差数列．
22.（江西文科5）.设为等差数列，公差，为其前项和。若，则=（
a.18b.20c.22d.24
答案：b 解析：,则，
23（江西文科21）(本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列，满足，若数列唯一，求的值；
（2）是否存在两个等比数列，使得成公差为。
的等差数列？若存在，求的通项公式；若存在，说明理由．
解：（1）是等比数列，设公比为，时，由
且， ，又，若数列唯一，则方程必有一根为，此时可推得。
2）假设存在这样的等比数列的公比分别为，则。
第一式乘以减去第二式：整理得，又或。
当时，由以上一式得：或，此时是常数列，公差为；
当时，代入一式得：或，此时。
不符合题意，所以不存在两个等比数列，使得成公差不为的等差数列。
24.（浙江理科19）已知公差不为0的等差数列的首项为(),设数列的前项和为，且，，成等比数列。
1）求数列的通项公式及。
2）记，，当时，试比较与的大小。
解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，所以，化简得：
而，所以，，。
2）由（1）知，则， ，当时，所以，故当时，，当时，。
25（浙江文科17）若数列中的最大项是第项，则。
答案】4 解析】设最大项为第项，则有，.
26（浙江文科19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项且成等比数列。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）对，试比较与的大小。
解：（1）设数列的公差为，则由已知，成等比数列，所以，化简得：
而，所以，
2）由，则。
(1)当时，;
(2)当时，
26（山东理20）等比数列中，分别是下表第。
一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列。
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