北京卷)(理)
10．已知等差数列为其前n项和。若，，则=__
解析】因为，所以，。
答案】， 湖南卷）
19.（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，记a（n）=a1+a2+……an，b（n）=a2+a3+……an+1，c（n）=a3+a4+……an+2，n=1,2，……
1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈n﹡，三个数a（n），b（n），c（n）组成等差数列，求数列的通项公式。
2） 证明：数列是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数a（n），b（n），c（n）组成公比为q的等比数列。
解析】解（１）对任意，三个数是等差数列，所以。
即亦即。故数列是首项为１，公差为４的等差数列。于是。
ⅱ）（必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有。
由知，均大于０，于是。
即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列。
２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则，于是得即。
由有即，从而。
因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈n﹡，三个数组成公比为的等比数列。
点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明。第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证。
四川卷） 理工类。
20、(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
ⅰ）求，的值；
ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。 本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础只是，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力，考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想。
解：）取，得。
取，得。由，得。
1）若，由知。
2）若，由知。
由、解得，；或。
综上可得，；或；或……5分。
）当时，由（）知。
当时，有，所以，即，所以。
令，则。所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而。
当时，故时，取得最大值，且的最大值为。
12分。重庆卷）
1.在等差数列中，则的前5项和=
a.7b.15 c.20 d.25
21）（本小题满分12分，（i）小问5分，（ii）小问7分。）
设数列的前项和满足，其中。
（i）求证：是首项为1的等比数列；
（ii）若，求证：，并给出等号成立的充要条件。
江苏卷）20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个数列和满足：．
1）设，求证：数列是等差数列；
2）设，且是等比数列，求和的值．
解析：安徽卷）
数学（文科）
5）公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且=16，则=
a） 1b）2
c） 4d）8
解析】选。湖北卷）（文史类）
7.定义在（-∞0）∪（0，+∞上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞0）∪（0，+∞上的如下函数：
①f（x）=x；②f（x）=2x；③；f（x）=ln|x |。
则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为。
a.①②b.③④c.①③d.②④
解析】设数列的公比为。对于①，,是常数，故①符合条件；对于②，，不是常数，故②不符合条件；对于③，是常数，故③符合条件；对于④,，不是常数，故④不符合条件。由“保等比数列函数”的定义知应选c.
点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念。对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键。来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等。
2023年陕西省。
20.（本小题满分13分）
已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8.
1） 求等差数列的通项公式；
2） 若a2,a3,a1成等比数列，求数列的前n项和。
解析】点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力。求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：
（为常数，）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论。来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质。
天津卷）18）（本题满分13分）
已知｛｝是等差数列，其前项和为，｛｝是等比数列，且==2, ,10
i）求数列｛｝与｛｝的通项公式；
ii）记=+，n,n>2）。
全国统一考试。
理科数学（必修+选修ii）
5）已知等差数列的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为。
a) (b) (c) (d)
22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数f(x)=x2-2x-3，定义数列如下：x1=2，xn+1是过两点p（4,5）、qn(xn,f(xn))的直线pqn与x轴交点的横坐标。
ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；
ⅱ）求数列的通项公式。
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