【 摘要 】为了能比较全面的搞好数列部分的备考，笔者分“最近5年高考数列考点经典试题精析”和“2023年高考数列复习备考导航”两个内容，剖析该部分高考重要考点，提供常见实用的做题方法（即通性通法），并比较详细地梳理了高考考查重点、难点——求通项公式和求和的常见做法，力求对备考的学子有所裨益。
关键词 】高考数列、备考复习
数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考查内容之一。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列试题的能力考查特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。
2023年全国高考在即，为了能比较全面的搞好高考数列的备考，笔者分“最近5年高考数列考点经典试题精析”和“2023年高考数列复习备考导航”两个内容，剖析该部分高考重要考点，提供常见实用的做题方法（即通性通法），并比较详细地梳理了高考考查重点、难点——求通项公式和求和的常见做法，力求对高考备考的学子有所裨益。
最近5年高考数列考点经典试题精析。
数列的基本概念包括理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根递推公式据写出数列的前几项，理解等差数列的概念，理解等比数列的概念。数列的基本概念在近五年的高考中基本上在选择题、填空题中考查，主要考查等差数列和等比数列的概念及其应用。在近5年高考试题中，对数列的基本概念的考查形式多样、考查方式较灵活、内容较综合，要求考生在认真审题的基础上，充分观察和想象，然后利用所学知识解决新情景下的数列试题。
1、（2009湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是（ ）
a.289b.1024c.1225d.1378
解析：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除a、d，又由知必为奇数，故选c。 答案： c
2、（2008江苏卷）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为。
解析：本题关键在于通过观察、找到规律。 答案：
3、(2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体。
的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的。
个数至少是。
a.4b.5.
c.6d.7
解析：本题以立体图形为载体，重点考查学生空间想象能力和逻辑推理能力，综合立几和数列，实为匠心独运的好题。 答案：c
考点2 : 数列的通项公式。
高考数列的通项公式考点包括：1、等差数列通项公式，2、等比数列通项公式，3、给出递推公式，求通项公式。其中主要是考查基本量问题 ，在等差(比)数列中，常会在首项a1，第n项an，项数n，公差(比)d(q)，前n项和sn之间，给出一些已知条件，从而得出这五个量之间的某些关系，可以求出其他的一些量。
3一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。考虑到文理科的差异，文、理数学卷稍有区别，文科数学解答题常考等差、等比数列综合题，而理科数学解答题常常考递推公式类题，笔者在“2023年数学数列复习备考导航”中有详细的总结。
1）最近5年全国高考等差数列、等比数列通项公式经典真题精析。
从近5年全国高考试题来看，等差、等比数列部分基本量问题考查较多。等差中项类型题目的考查也尤为频繁，连续几年都不间断考查，考生在复习备考一定要注意两点：1、等差中项在解决（要求是奇数）的妙用，2、若m+n=p+q,则an+am=ap+aq (m,n,p,q∈n+)；等比中项类型题目的考查也尤为频繁，此类题目一定要注意正负问题，做好取舍是关键，另外等差、等比数列的小综合题也时有出现，要引以足够的重视。
1、（2009全国卷）.设等差数列的前项和为。若 -
解析：由得，即。 答案：0
2、(2006湖北卷理)若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则( )
a．4 b．2 c．－2 d．－4
解析：由题得2b=a+c,a2 =bc,联即可得a=-4.答案：d
3、（2005全国卷ii理）如果，，…为各项都大于零的等差数列，公差，则( )
a） （b） （c）++d）=
解析：本题考查学生逻辑推理能力和计算能力，考生可以在满足题设条件的前提下采用特殊值法，很容易得出答案。 答案： b
2）最近5年全国高考给出递推公式求通项公式经典真题精析。
给出递推公式求通项公式是高考数列解答题的常见形式，往往是数列压轴题的第一小题。此类题目思维难度较大，但解决方法一般不唯一，为了降低难度，让不同层次的考生得到应得的分数，往往都给了相关的提示，考生只需合理利用好提示，就能顺利解答。
1、（2009全国卷ii理）设数列的前 n项和为，已知。
1） 设。2） 求数列的通项公式。
解：（1）由= ，有，两式相减得。
变形为，即，（n2） 由=，得，于是所以数列是首项为3，公比为2的等比数列。
2）由（1）得，即，所以，且于是是首项为，公差为的等差数列，所以，所以。
2、（2006全国卷ii）设数列｛an｝的前n项和为sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为sn－1，n＝1，2，3，…．
ⅰ）求a1，a2；
ⅱ）｛an｝的通项公式．
解：(ⅰ题属于基本题，根据题中条件很容易写出关于a1，a2的方程，即可得解。
ⅱ)由题设(sn－1)2－an(sn－1)－an＝0， sn2－2sn＋1－ansn＝0．
当n≥2时，an＝sn－sn－1，代入上式得sn－1sn－2sn＋1＝0 ①
由(ⅰ)知s1＝a1＝，s2＝a1＋a2＝＋＝
由①可得s3＝．
由此猜想sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用数学归纳法证明这个结论．
i)n＝1时已知结论成立．
ii)假设n＝k时结论成立，即sk＝，当n＝k＋1时，由①得sk＋1＝，即可得sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知sn＝对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝sn－sn－1＝－＝又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
3、（2005北京卷）数列的前n项和为sn，且a1=1，，n=1，2，3，……求。
（ⅰ）a2，a3，a4的值及数列的通项公式；
（ⅱ）的值。
解：（ⅱ略，（i）由a1=1，，n=1，2，3，……得。
由（n≥2），得（n≥2），又a2=，所以an= (n≥2), 数列的通项公式为。
考点3: 数列的求和
数列的求和考点包括：1等差数列求和，2等比数列求和，3给出递推公式，先求通项公式，再求和。通项公式是数列求和的基础和前提，其中主要是考查基本量问题，注意数列求和思想方法，特别是公式的使用条件，3一般在解答题中考查，此类考题较难，常常作为压轴题。
高考中求和常考查裂项求和、等比乘等差类型求和、对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和，笔者在“2023年高考数列复习备考导航”中有详细的总结。
从最近5年高考试题来看，倒序相加法、错位相减法等基本的求和方法也时常考查，等差乘等比类型数列的求和考查十分频繁，而此类型试题**于课本单元总复习b组题，足见在高考备考中课本的复习的重要性。
1、（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=(
a.7b.8c.15d.16
解析：本题是等差、等比数列的小综合题，要求考生具备熟练运用基本公式求答的能力。
4，2，成等差数列，。答案： c
2、（2007全国ⅱ卷）已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为sn
解析：本题的呈现形式较灵活，乍一看好像要一项一项列举出来后再求，其实仔细思考一下就会豁然开朗，其实该数列是等差数列，代入求和公式即得。答案：
3.(2006辽宁卷理)在等比数列中， ,前项和为，若数列也是等比数列，则等于 (
(a) (b) (c) (d)
解析：本题先设出公比q，通过所求等比数列中、数列也是等比数列两个条件，建立方程，即可得q，再代入求和公式即得。答案： c
2）最近5年全国高考给出递推公式求和经典真题精析。
1、（2009全国卷ⅰ理）在数列中，i）设，求数列的通项公式。
ii）求数列的前项和。
解 ：（i）略。
ii）由（i）知，=
而，又是一个等差乘模等比型，方法是错位相减法，易得 =
2、（2008安徽卷）设数列满足其中为实数，且，（ⅰ求数列的通项公式；
ⅱ）设，,求数列的前项和；
解 ：（略。
ⅱ）由（ⅰ）得。
是一个等差乘模等比型，方法是错位相减法，3、（2006安徽卷）在等差数列中，，前项和满足条件：，
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）记，求数列的前项和。
解：（ⅰ略。
（ⅱ）由（ⅰ）可得，由，得。所以，当时，；
当时，即。最近五年来，数列在很多高考试卷中常常作为压轴题，题目形式多是在递推公式基础上，要求考生先求出通项公式或先猜想、再用数学归纳法证明，然后在考查数列函数不等式的综合。解决数列函数不等式的综合，常常的方法有：
数学归纳法、构造函数、不等式放缩法等。此类试题难度较大，为基本不得分题目，考生要在平时的复习备考中留心，并在练习中认真体会，争取突破此难点。数列、函数和不等式综合题，主要考查考生推理论证、抽象概括、运算求解和**能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。
数学归纳法是研究数列的有力工具，应该在平时的复习备考中留心，并在练习中认真体会。
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