第五节数列的求和。
一、选择题。
1．数列中，a1＝－60，且an＋1＝an＋3，则这个数列的前30项的绝对值之和为( )
a．495 b．765 c．3105 d．120
2．化简sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－1＋2n－1的结果是( )
a．2n－2n＋1b．2n＋1－n＋2
c．2n＋n－2d．2n＋1－n－2
3．在项数为2n＋1且中间项不为零的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为( )
ab. cd．1
4．数列的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )
a．11 b．99 c．120 d．121
5．设sn和tn分别为两个等差数列和的前n项和，若对任意n∈n，都有＝，则数列的第11项与数列的第11项的比是( )
a．4∶3b．3∶2
c．7∶4d．78∶71
二、填空题。
6．对于每个正整数n，抛物线y＝(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1与x轴交于两点an、bn，则＋＋…的值为___
7．(2024年汕头测试)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如下图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第5件工艺品所用的宝石数为___颗；第n件工艺品所用的宝石数为___颗(结果用n表示)．
8．(2024年广州一模)已知数列的前n项和sn满足sn＝an－，且1＜sk＜9，则a1的值为k的值为。
三、解答题。
9．设数列的前n项和为sn，且bn＝2－2sn；数列为等差数列，且a5＝14，a7＝20.
1)求数列的通项公式；
2)若cn＝an·bn，n＝1,2,3，…，tn为数列的前n项和，求证：tn＜.
10．(2024年广东卷)已知点是函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象上一点，等比数列的前n项和为f(n)－c，数列(bn＞0)的首项为c，且前n项和sn满足sn－sn－1＝＋(n≥2)．
1)求数列和的通项公式；
2)若数列{}前n项和为tn，问tn＞的最小正整数n是多少？
参***。1．解析：数列是首项a1＝－60，公差d＝3的等差数列，an＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
当an≤0时，3n－63≤01≤n≤21；当n≥22时，an＞0.
前30项的绝对值之和。
s30＝|a1|＋|a2|＋…a21|＋|a22|＋…a30|
－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋…＋a30＝630＋135＝765.
答案：b2．解析：由sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋1×2n－1
2sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋1×2n
相式相减得：sn＝2＋22＋…＋2n－1＋2n－n＝2(2n－1)－n＝2n＋1－n－2.选d.
答案：d3．解析：奇数项之和s1＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1＝×(n＋1)＝(n＋1)an＋1，偶数项之和s2＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝×n＝nan＋1
中间项不为零，∴an＋1≠0即＝.选a.
答案：a4．解析：由an＝＝－得：a1＝－1，a2＝－，an＝－，sn＝a1＋a2＋…＋an＝－1
令－1＝10n＝120.选c.
答案：c5．解析：因为＝＝＝所以＝＝＝故选a.
答案：a6．解析：令y＝0(n2＋n)x2－(2n＋1)x＋1＝0
nx－1)[(n＋1)x－1]＝0解得x1＝，x2＝，|anbn|＝|x1－x2|＝－
|a1b1|＋|a2b2|＋…a2010b2010|
答案：7．解析：设第n件工艺品所用的宝石数为an，则。
a1＝4×(1＋2)－3×2＝6，a2＝4×(1＋2＋3)－3×3＝15，a3＝4×(1＋2＋3＋4)－3×4＝28，a4＝4×(1＋2＋3＋4＋5)－3×5＝45，a5＝4×(1＋2＋3＋4＋5＋6)－3×6＝66.依此规律，an＝4×[1＋2＋3＋…＋n＋(n＋1)]－3×(n＋1)
4×－3(n＋1)＝(2n＋1)(n＋1)．
答案：66 2n2＋3n＋1
8．解析：令n＝1，得a1＝s1＝a1－a1＝－1；
当n≥2时，an＝sn－sn－1.
sn＝(sn－sn－1)－sn＝－2sn－1－1，sn＋＝－2.
sn＋＝－2)n－1，sn＝－－2)n－1＝[(2)n－1]
由1＜sk＜91＜[(2)k－1]＜93＜(－2)k－1＜27，k＝4.
答案：－1 4
9．解析：(1)由bn＝2－2sn，令n＝1，则b1＝2－2s1，又s1＝b1，所以b1＝.b2＝2－2(b1＋b2)，则b2＝.
当n≥2时，由bn＝2－2sn，可得。
bn－bn－1＝－2(sn－sn－1)＝－2bn，即＝.
所以是以b1＝为首项，为公比的等比数列，于是bn＝2·.
当n＝1时，b1＝也适合上式，∴bn＝2·(n∈n*)
2)证明：数列为等差数列，公差d＝(a7－a5)＝3，a1＝2，可得an＝3n－1.
从而cn＝an·bn＝2(3n－1)·.
tn＝2，tn＝2，tn＝2＋3·＋3·＋…3·－－3n－1)·.
从而tn＝－·
10．解析：(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x，a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－
又数列成等比数列，a1＝＝＝c，所以c＝1；又公比q＝＝，所以an＝－n－1＝－2n(n∈n*)；
sn－sn－1＝＝
(n≥2)又bn＞0，＞0，∴－1；
数列{}构成一个首项为1公差为1的等差数列，1＋(n－1)×1＝n，sn＝n2，当n≥2时，bn＝sn－sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又∵当n＝1时，b1＝1满足上式．
bn＝2n－1(n∈n*)；
2)tn＝＋＋
由tn＝＞得n＞，满足tn＞的最小正整数为112.
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