课时作业(十)
一、选择题。
1．下列大小关系正确的是( )
a．0.43<30.4c．log40.3<0.43<30.4 d．log40.3<30.4<0.43
答案 c解析 ∵log40.3<0,0<0.43<1,30.4>1，∴选c.
2．(2010·浙江卷)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)1，则α＝(
a．0b．1
c．2 d．3
答案 b解析依题意知log2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1.
3．(2011·厦门一模)log2sin＋log2cos的值为( )
a．－4 b．4
c．－2 d．2
答案 c解析 log2sin＋log2cos＝log2sincos＝log2sin＝log2＝－2，故选c.
4．(09·全国ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则( )
a．a＞b＞c b．a＞c＞b
c．b＞a＞c d．b＞c＞a
答案 a解析 ∵a＝log3π＞log33＝1，b＝log2＜log22＝1，∴a＞b，又＝＝(log23)2＞1，∴b＞c，故a＞b＞c，选a.
5．设logbn＜logan＜0，n＞1，且a＋b＝1，则必有( )
a．1＜a＜b b．a＜b＜1
c．1＜b＜a d．b＜a＜1
答案 b解析 0＞logan＞logbnlognb＞logna，∴a＜b＜1
6．0＜a＜1，不等式＞1的解是( )
a．x＞a b．a＜x＜1
c．x＞1 d．0＜x＜a
答案 b解析易得0＜logax＜1，∴a＜x＜1
7．下列四个数中最大的是( )
a．(ln 2)2 b．ln(ln 2)
c．ln d．ln 2
答案 d解析 0ln＝ln28．(2011·江南十校联考)已知实数a，b满足loga＝logb，给出五个关系式：①a>b>1，②0a>1，④0a．1个 b．2个。
c．3个 d．4个。
答案 b解析当a＝b＝1时，显然满足题意．故⑤a＝b有可能成立；当a≠1且b≠1时，根据loga＝logb得＝，因此lga＝lgb＝(log)lgb.因为loga>1和②0二、填空题。
9．若xlog32＝1，则4x＋4－x
答案 解析由已知得x＝＝log23，所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝9＋＝.
10．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则实数a的取值范围是。
解析 ∵a2＋1＞1, loga(a2＋1)＜0，∴0＜a＜1.
又loga2a＜0，∴2a＞1，∴a＞
实数a的取值范围是(，1)
11．若正整数m满足10m－1＜2512＜10m，则mlg2≈0.3010)
答案 155
解析由10m－1＜2512＜10m得。
m－1＜512lg2＜m∴m－1＜154.12＜m
m＝15512．(09·辽宁)已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝(x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)．则f(2＋log23
答案 解析由于113．(09·山东)定义在r上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(3)的值为___
答案 －2解析由题知，f(3)＝f(2)－f(1)，f(2)＝f(1)－f(0)，则f(3)＝－f(0)＝－2.
三、解答题。
14．(2010·辽宁卷改编)设2a＝5b＝m，且＋＝2，求m的值．
答案 解析 a＝log2 m，b＝log5 m，代入已知，得logm 2＋logm 5＝2，即logm 10＝2，所以m＝.
15．已知函数f(x)＝－x＋log2.
1)求f(－)f(－)f()＋f()的值．
2)若x∈[－a，a](其中a∈(0,1))，试判断函数f(x)是否存在最大值或最小值？
答案 (1)0
2)有最小值f(a)＝－a＋log2，有最大值为f(－a)＝a＋log2
解析 (1)由》0得函数的定义域是(－1,1)，又f(－x)＋f(x)＝log2＋log2＝log21＝0，f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数，f(－)f()＝0，f(－)f()＝0，f(－)f(－)f()＋f()＝0.
2)f(x)＝－x＋log2(1－x)－log2(1＋x)，f′(x)＝－1＋－<0，有最小值f(a)＝－a＋log2，有最大值为f(－a)＝a＋log2.
评析本题可以运用单调函数的定义域来证明函数单调递减，但相对来说，在许多情况下应用导数证明函数的单调性比运用定义证明函数的单调性，运算量小得多．
16．设f(x)＝log为奇函数，a为常数．
1)求a的值；
2)证明f(x)在区间(1，＋∞内单调递增；
3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)>(x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即log＝－log，即log＝log，∴＝化简整理得(a2－1)x2＝0，∴a2－1＝0，a＝±1，经检验a＝－1，f(x)是奇函数，∴a＝－1.
2)证明由(1)得f(x)＝log，设1则－＝>0，>>0，从而log∴f(x)在(1，＋∞内单调递增．
3)原不等式可化为f(x)－(x>m，令φ(x)＝f(x)－(x，则φ(x)>m对于区间[3,4]上的每一个x都成立等价于φ(x)在[3,4]上的最小值大于m.
φ(x)在[3,4]上为增函数，当x＝3时，φ(x)取得最小值，log－()3＝－，m<－.
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