课时作业(十五)
一、选择题。
1．数列，，，的一个通项公式为( )
a．anb．an＝
c．an＝ d．an＝
答案 c解析观察知an＝＝.
2．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x应取( )
a．19 b．20
c．21 d．22
答案 c解析 a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an
x＝8＋13＝21，故选c.
3．已知数列中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈n*)，则a100的值是( )
a．9900 b．9902
c．9904 d．11000
答案 b解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…a2－a1)＋a1
4．已知数列满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an＝(
a．2n b. n(n＋1)
c．2n－1 d．2n－1
答案 c解析方法一由已知an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)且a0＝1，得到a1＝a0＝1＝21－1，a2＝a0＋a1＝2＝22－1，a3＝a0＋a1＋a2＝4＝23－1，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝8＝24－1.
由此猜想出an＝2n－1(n≥1)．
方法二由an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，得an＋1＝a0＋a1＋…＋an－1＋an.
两式相减得an＋1－an＝an.
an＋1＝2an.∴＝2(n≥1)．
该数列为一等比数列(n≥1)，其中a1＝a0＝1.
当n≥1时，an＝2n－1
5．已知数列中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项an为( )
a．2n－1 b．2n＋1
c. d.
答案 c解析 ∵an＋1＝ ∴2
为等差数列，公差为2，首项＝1
＝1＋(n－1)·2＝2n－1，∴an＝
二、填空题。
6．已知数列对于任意p，q∈n*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36
答案 4解析 ∵a1＝.
a2＝a1＋a1＝，a4＝a2＋a2＝，a8＝a4＋a4＝.
a36＝a18＋a18＝2a18＝2(a9＋a9)＝4a9＝4(a1＋a8)＝4(＋)4.
7．记数列的前n项和为sn，且sn＝2(an－1)，则a2等于___
答案 4解当n＝1时，由s1＝a1＝2(a1－1)，得a1＝2；当n＝2时，由a1＋a2＝2(a2－1)，得a2＝4.
8．(2010·南京质检)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___块．(用含n的代数式表示)
答案 4n＋8
解析第(1)、(2)、(3)…个图案黑色瓷砖数依次为：15－3＝12；24－8＝16；35－15＝20；…由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为：12＋(n－1)×4＝4n＋8.
9．已知：f(x)＝x2＋3x＋2，数列满足a1＝a，且an＋1＝f′(an)(n∈n*)，则该数列的通项公式an为___
解析 f(x)＝x2＋3x＋2 ∴f′(x)＝2x＋3
an＋1＝f′(an)＝2an＋3.
an＋1＋3＝2(an＋3)．
是公比为2，首项为3＋a的等比数列。
an＋3＝(3＋a)·2n－1
an＝(3＋a)·2n－1－3
10．已知的前n项和为sn，满足log2(sn＋1)＝n＋1，则an
解析 ∵sn＋1＝2n＋1
sn＝2n＋1－1
n＝1时，a1＝3
n≥2时，a1＝sn－sn－1＝2n
an＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列的前n项和sn若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为tn，则t4
答案 2n－1 10
解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故sn＝＝2n－1.
当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为，第3次生成的数为，第4次生成的数为.故t4＝10.
12．(2011·福州质检)数列满足an＋1＝a1＝，则数列的第2011项为___
答案 解析 ∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.
a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.
a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝…，该数列周期为t＝4.
a2011＝a3＝
三、解答题。
13．已知数列的通项公式为an＝n2－5n＋4.
1)数列中有多少项是负数？
2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析 (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈n*，∴n＝2,3.∴数列有两项是负数．
2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－)2－的对称轴方程为n＝，又n∈n*，∴n＝2或3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.
14．2023年10月1日的国庆60周年阅兵式上，有n(n≥2)行、n＋1列的大学生方阵．
1)写出一个数列，用它表示当n分别为2,3,4,5,6，…时方阵中的大学生人数；
2)说出(1)题中数列的第项，并用a5，a6表示；
3)把(1)中的数列记为，求该数列的通项公式an＝f(n)；
4)已知an＝9900，问an是第几项？此时大学生方阵有多少行、多少列？
5)画an＝f(n)的图象，并利用图象说明方阵中大学生人数有可能是56,28吗？
解析 (1)该数列为6,12,20,30,42，…；
2)a5＝42，a6＝56；
3)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈n*)；
4)由9900＝(n＋1)(n＋2)解得n＝98，an是第98项，此时大学方阵有99行，100列；
5)f(n)＝n2＋3n＋2，如图，图象是分布在函数f(x)＝x2＋3x＋2上的孤立的点，由图可知，人数可能是56，不可能是28
15．(2010·江苏四市)已知数列满足a1＝1，an>0，sn是数列的前n项和，对任意n∈n*，有2sn＝p(2a＋an－1)(p为常数)．
1)求p和a2，a3的值；
2)求数列的通项公式．
解析 (1)令n＝1得2s1＝p(2a＋a1－1)，又a1＝s1＝1，得p＝1；
令n＝2得2s2＝2a＋a2－1，又s2＝1＋a2，得2a－a2－3＝0，a2＝或a2＝－1(舍去)，∴a2＝；
令n＝3得2s3＝2a＋a3－1，又s3＝＋a3，得2a－a3－6＝0，a3＝2或a3＝－(舍去)，∴a3＝2.
2)由2sn＝2a＋an－1，得2sn－1＝2a＋an－1－1(n≥2)，两式相减，得2an＝2(a－a)＋an－an－1，即(an＋an－1)(2an－2an－1－1)＝0，an>0，∴2an－2an－1－1＝0，即an－an－1＝(n≥2)，故是首项为1，公差为的等差数列，得an＝(n＋1)．
2023年高考一轮复习课时作业
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