课时作业(十八)
一、选择题。
1．设f(n)＝1＋＋＋n∈n*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )
ab.＋c.＋ d.＋＋
答案 d2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈n*都成立，则a、b、c的值为( )
a．a＝，b＝cb．a＝b＝c＝
c．a＝0，b＝c＝ d．不存在这样的a、b、c
答案 a解析 ∵等式对一切n∈n*均成立，n＝1,2,3时等式成立，即。
整理得解得a＝，b＝c＝.
3．在数列中，a1＝，且sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )
a. b.
c. d.
答案 c解析由a1＝，sn＝n(2n－1)an，得s2＝2(2×2－1)an，即a1＋a2＝6a2，a2＝＝，s3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.
a3＝＝，a4＝.故选c.
二、填空题。
4．n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n命题为真．
答案 2k＋1
三、解答题。
5．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．
解析 ①当n＝5时，25>52，结论成立；
假设当n＝k(k∈n*，k≥5)时，结论成立，即2k>k2.
那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k>2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>k＋1)2＝右边．
也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，不等式2n>n2对满足n∈n*，n≥5时的n恒成立．
6．设数列的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有：(sn－1)2＝ansn.
1)求s1，s2，s3；
2)猜想sn的表达式并证明．
解析 (1)由(s1－1)2＝s得：s1＝；
由(s2－1)2＝(s2－s1)s2得：s2＝；
由(s3－1)2＝(s3－s2)s3得：s3＝.
2)猜想：sn＝.
证明：①当n＝1时，显然成立；
假设当n＝k(k≥1且k∈n*)时，sk＝成立．
则当n＝k＋1时，由(sk＋1－1)2＝ak＋1sk＋1得：sk＋1＝＝＝从而n＝k＋1时，猜想也成立．
综合①②得结论成立．
7．在数列，中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈n*)．
1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
2)证明：＋＋
解析 (1)由条件得。
2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
当n＝1时，由上可得结论成立．
假设当n＝k时，结论成立，即。
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
n≥2时，由(1)知。
an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.故＋＋…
8．已知数列的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈n)．
证明：an证明解法一用数学归纳法证明：
1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以a0(2)假设n＝k时命题成立，即ak－1则当n＝k＋1时，ak－ak＋1
ak－1(4－ak－1)－ak(4－ak)
2(ak－1－ak)－(ak－1－ak)(ak－1＋ak)
(ak－1－ak)(4－ak－1－ak)．
而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.
所以n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈n时有an解法二用数学归纳法证明：
1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以0(2)假设n＝k时有ak－1令f(x)＝x(4－x)，f(x)在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f(ak－1)即ak－1(4－ak－1)< ak(4－ak)<×2×(4－2)，也即当n＝k＋1时，ak所以对一切n∈n，有ak9．(09·安徽)首项为正数的数列满足an＋1＝(a＋3)，n∈n*.
ⅰ)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
ⅱ)若对一切n∈n*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
解析 (ⅰ已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法可知，对任何n∈n*，an是奇数．
ⅱ)解法一由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，当且仅当an<1或an>3时，an＋1>an.
另一方面，若03，则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法可知n∈n*,03an>3.
综上所述，对一切n∈n*都有an＋1>an的充要条件是03.
解法二由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0，于是03.
an＋1－an＝－＝因为a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．
根据数学归纳法可知，n∈n*，an＋1－an与a2－a1同号．
因此，对于一切n∈n*都有an＋1>an的充要条件是03.
10．(2011·济南统考)已知等差数列的公差d大于0，且a2，a5是方程x2－12x＋27＝0，的两根，数列的前n项和为tn，且tn＝1－bn.
1)求数列、的通项公式；
2)设数列的前n项的和为sn，试比较与sn＋1的大小，并说明理由．
思路分析 (1)求得a2、a5的值即可得an的表达式，再利用tn－tn－1＝bn求出的通项公式；
2)首先求出sn＋1与的表达式，先进行猜想，再进行证明．
解析 (1)由已知得。
又∵的公差大于0，∴a5>a2.
a2＝3，a5＝9.
d＝＝＝2，a1＝1.
tn＝1－bn，b1＝，当n≥2时，tn－1＝1－bn－1，bn＝tn－tn－1＝1－bn－(1－bn－1)，化简，得bn＝bn－1，是首项为，公比为的等比数列，即bn＝·(n－1＝.
an＝2n－1，bn＝.
2)∵sn＝n＝n2，sn＋1＝(n＋1)2，＝，以下比较与sn＋1的大小：
当n＝1时，＝，s2＝4，∴ 当n＝2时，＝，s3＝9，∴ 当n＝3时，＝，s4＝16，则当n＝4时，＝，s5＝25，得》s5.
猜想：n≥4时， >sn＋1.
下面用数学归纳法证明：
当n＝4时，已证．
假设当n＝k(k∈n*，k≥4)时， >sk＋1，即》(k＋1)2，那么，n＝k＋1时，＝3·>3(k＋1)2
3k2＋6k＋3
(k2＋4k＋4)＋2k2＋2k－1>[(k＋1)＋1]2＝s(k＋1)＋1，n＝k＋1时， >sn＋1也成立．
由①②可知n∈n*，n≥4时， >sn＋1成立．
综上所述，当n＝1,2,3时， 当n≥4时， >sn＋1.
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