课时作业(六)
一、选择题。
1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )
a．y＝ex－e－xb．y＝lg
c．y＝cos2x d．y＝sinx＋cosx
答案 d2．(2011·山东临沂)设f(x)是r上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
a．f(x)f(－x)是奇函数 b．f(x)|f(－x)|是奇函数。
c．f(x)－f(－x)是偶函数 d．f(x)＋f(－x)是偶函数。
答案 d3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )
a．－x(1－x) b．x(1－x)
c．－x(1＋x) d．x(1＋x)
答案 b解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
a．奇函数 b．偶函数。
c．非奇非偶函数 d．既奇又偶函数。
答案 a解析由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．
5．(2010·山东卷)设f(x)为定义在r上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(
a．3 b．1
c．－1 d．－3
答案 d解析令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－x－2x＋b，又因为f(x)在r上是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，即b＝－1，f(x)＝－2－x＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，故选d.
6．(2011·深圳)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2011(x)＝(
a．－ b．x
c. d.
答案 c解析由题得f2(x)＝f()＝f3(x)＝f(－)f4(x)＝f()＝x，f5(x)＝＝f1(x)，其周期为4，所以f2011(x)＝f3(x)＝.
7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则＝(
a． b．c． d．
答案 b解析当x<0时，－x>0，f(－x)＝(x)3－8＝－x3－8，又f(x)是偶函数，f(x)＝f(－x)＝－x3－8，f(x)＝.
f(x－2)＝，或，解得x>4或x<0.故选b.
二、填空题。
8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a
答案 －1解析 f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a.
f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.
9．设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈r)，若f(－2011)＝－17，则f(2011
答案 31解析 f(2011)＝a·20115＋b·20113＋c·2011＋7
f(－2011)＝a(－2011)5＋b(－2011)3＋c(－2011)＋7
f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.
10．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象关于___点对称．
答案(0,1)
解析 f(x)的图象是由y＝x3＋sin x的图象向上平移一个单位得到的．
11．已知f(x)是定义在r上的偶函数，且对任意的x∈r，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19
答案 0解析依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.
12．定义在(－∞上的函数y＝f(x)在(－∞2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是。
答案 f(5)解析 ∵y＝f(x＋2)为偶函数。
y＝f(x)关于x＝2对称。
又y＝f(x)在(－∞2)上为增函数。
y＝f(x)在(2，＋∞上为减函数，而f(－1)＝f(5)
f(5)＜f(－1)＜f(4)．
13．(2011·山东潍坊)定义在r上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：
f(x)是周期函数；
f(x)关于直线x＝1对称；
f(x)在[0,1]上是增函数；
f(x)在[1,2]上是减函数；
f(2)＝f(0)，其中正确的序号是___
答案 ①②解析由f(x＋1)＝－f(x)得。
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，f(x)是周期为2的函数，①正确，f(x)关于直线x＝1对称，②正确，f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②正确．
三、解答题。
14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．
答案 f(x)＝x2－2，g(x)＝x
解析 ∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①
f(－x)＋g(－x)＝(x)2＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(x)－g(x)＝x2－x－2.②
由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
15．已知f(x)是定义在r上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．
答案 2解析由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.
16．已知定义域为r的函数f(x)＝是奇函数．
ⅰ)求a，b的值；
ⅱ)若对任意的t∈r，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
答案 (1)a＝2，b＝1 (2)k<－
解析 (ⅰ因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0b＝1
f(x)＝又由f(1)＝－f(－1)知＝－a＝2.
ⅱ)解法一由(ⅰ)知f(x)＝，易知f(x)在(－∞上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：
t2－2t>k－2t2.即对一切t∈r有：3t2－2t－k>0，从而判别式δ＝4＋12k<0k<－
解法二由(ⅰ)知f(x)＝.又由题设条件得：
<0，即：(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)<0，整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故：3t2－2t－k>0
上式对一切t∈r均成立，从而判别式δ＝4＋12k<0k<－
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