课时作业(十四)
一、选择题。
1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则( )
a．a－2b＝0b．2a－b＝0
c．2a＋b＝0 d．a＋2b＝0
答案 d解析 y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、是方程3ax2＋2bx＝0的两根。
－＝，a＋2b＝0.
2．(2011·江南十校)当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(
a. b．－
c．－ln2 d．ln2
答案 b解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2
令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0
2x＞0，∴x＝－
3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
a．0＜b＜1 b．b＜1
c．b＞0 d．b＜
答案 a解析 f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1
综上，b的范围为0＜b＜1
4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )
a．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点。
b．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点。
c．x＝－1不是函数f(x)的极值点。
d．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点。
答案 b解析 x>－1时，f′(x)>0
x<－1时，f′(x)<0
连续函数f(x)在(－∞1)单减，在(－1，＋∞单增，∴x＝－1为极小值点．
5．函数y＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是( )
ab．－c．－4 d．－
答案 a解析 y′＝x2＋2x－3.
令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．
当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．
当x＝1时，ymin＝－.
6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如右图所示，则( )
a．x＝1是最小值点。
b．x＝0是极小值点。
c．x＝2是极小值点。
d．函数f(x)在(1,2)上单增。
答案 c解析由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选c.
7．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为( )
a．f(－a2)≤f(－1)
b．f(－a2)c．f(－a2)≥f(－1)
d．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定。
答案 a解析由题意可得f′(x)＝x2－2x－.
由f′(x)＝(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝.
当x<－1时，f(x)为增函数；当－18．函数f(x)＝e－x·，则( )
a．仅有极小值。
b．仅有极大值。
c．有极小值0，极大值。
d．以上皆不正确。
答案 b解析 f′(x)＝－e－x·＋·e－x＝e－x(－＋e－x·.
令f′(x)＝0，得x＝.
当x>时，f′(x)<0；
当x《时，f′(x)>0.
x＝时取极大值，f()＝
二、填空题。
9．(2011·西城区)若y＝alnx＋bx2＋x在x＝1和x＝2处有极值，则ab
答案 － 解析 y′＝＋2bx＋1.
由已知，解得。
10．已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为___
答案 0解析 ∵f(x)＝x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.
当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－0) 或x∈(2，＋∞时，f(x)单调递增．
若f(x)＝0有3个实根，则，解得011．设m∈r，若函数y＝ex＋2mx(x∈r)有大于零的极值点，则m的取值范围是___
答案 m<－
解析因为函数y＝ex＋2mx(x∈r)有大于零的极值点，所以y′＝ex＋2m＝0有大于0的实根．令y1＝ex，y2＝－2m，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m>1，即m<－.
12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)，则极小值为___
答案 0解析 f′(x)＝3x2－2px－q，由题知f′(1)＝3－2p－q＝0.
又f(1)＝1－p－q＝0，联立方程组，解得p＝2，q＝－1.
f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，解得x＝1或x＝，经检验知x＝1是函数的极小值点，f(x)极小值＝f(1)＝0.
三、解答题。
13．(2010·安徽卷，文)设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．
解析由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是f′(x)＝1＋sin(x＋)．
令f′(x)＝0，从而sin(x＋)＝得x＝π，或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(，2π)，单调递减区间是(π，极小值为f()＝极大值为f(π)2.
14．(2010·江西卷)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.
1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；
2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
1)由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9；
2)由于δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞上的单调函数．
15．已知定义在r上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数．
1)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；
2)若函数f(x)在区间(－1,0)上是增函数，求a的取值范围．
解析 (1)f(x)＝ax3－3x2，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，∴a＝2.
2)解法一 ①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间(－1,0)上是增函数，∴a＝0符合题意；
当a≠0时，f′(x)＝3ax(x－)，令f′(x)＝0得：x1＝0，x2＝.
当a>0时，对任意x∈(－1,0)，f′(x)>0，∴a>0符合题意；
当a<0时，当x∈(，0)时，f′(x)>0，∴≤1，∴－2≤a<0符合题意；
综上所述，a≥－2.
解法二 f′(x)＝3ax2－6x≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax－6≤0，∴a≥在区间(－1,0)上恒成立，又<＝－2，∴a≥－2.
16．(2011·沧州七校联考)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.
1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；
2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析 (1)f′(x)＝－2x＋a－，∵f(x)在(0，)上为减函数，∴x∈(0，)时－2x＋a－<0恒成立，即a<2x＋恒成立．
设g(x)＝2x＋，则g′(x)＝2－.∵x∈(0，)时》4，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，)上单调递减，g(x)>g()＝3，∴a≤3.
2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a应满足a>2，∴当a>2时，f′(x)＝0有两个不等的实数根，不妨设x1由f′(x)＝－2x2－ax＋1)＝－x－x1)(x－x2)知，00，x>x2时f′(x)<0，当a>2时f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．
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