重庆理21已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且。
ⅰ）求的通项公式；（ⅱ设数列满足，并记为的前项和，求证。
ⅰ）解：由，解得或，由假设，因此。又由，得或，因，故不成立，因此，从而是公差为3，首项为2的等差数列，故的通项为。
ⅱ）证法一：由可解得；
从而。因此。
令，则。因，故。
特别的。从而，即。
证法二：同证法一求得bn及tn.
由二项式定理知，当c＞0时，不等式成立。由此不等式有。
证法三：同证法一求得bn及tn.
令an＝，bn＝，cn＝。
因，因此。从而。
浙江理21已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．
）求，，，求数列的前项和；
ⅲ）记，求证：．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．
i）解：方程的两个根为，当时，，所以；当时，，，所以；
当时，，，所以时；当时，，，所以．
ii）解：
iii）证明：，所以，．
当时， 同时，
综上，当时，．
浙江文19已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程的两个根，且≤ (k ＝1，2，3，…)
(i)求及(n≥4)(不必证明)；(求数列{}的前2n项和s2n．
本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．
(i)解：方程的两个根为．
当k＝1时，，所以；当k＝2时，，所以；
当k＝3时，，所以；当k＝4时，，所以；
因为n≥4时，，所以。
天津理21在数列中，，其中．
ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ求数列的前项和；
ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
ⅰ）解法一：，由此可猜想出数列的通项公式为．
以下用数学归纳法证明．
1）当时，，等式成立．
2）假设当时等式成立，即，那么。
这就是说，当时等式也成立．
根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．
解法二：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．
ⅱ）解：设， ①
当时，①式减去②式，得，这时数列的前项和．
当时，．这时数列的前项和．
ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：
由知，要使③式成立，只要，因为。
所以③式成立．
因此，存在，使得对任意均成立．
天津文20在数列中，，，
ⅰ）证明数列是等比数列；（ⅱ求数列的前项和；
ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．
本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．
ⅰ）证明：由题设，得，．
又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．
ⅱ）解：由（ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．
所以数列的前项和．
ⅲ）证明：对任意的，所以不等式，对任意皆成立．
四川文22已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中为正实数。（ⅰ用表示；（ⅱ若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式；（ⅲ若，,是数列的前项和，证明。
本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，及推理论证、计算及解决问题的能力．
ⅰ）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是．即．
令，得．即．显然，∴．
ⅱ）由，知，同理．
故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．从而，所以。
ⅲ）由（ⅱ）知，∴
当时，显然．当时，
综上， ．上海理20
若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项。
2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和。
解：（1）设的公差为，则，解得，数列为．
（2），当时，取得最大值．的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
对于①，当时，．
当时， 对于②，当时，．
当时， ．对于③，当时，．
当时， ．对于④，当时，．
当时， ．上海文20
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…即（），我们称其为“对称数列”． 例如，数列与数列都是“对称数列”．
1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．
解：（1）设数列的公差为，则，解得，数列为．
由题意得是首项为，公差为的等差数列．
当时， .当时，
综上所述，
陕西理22已知各项全不为零的数列的前k项和为sk,且sk＝n*),其中a1=1.
ⅰ)求数列的通项公式；(ⅱ对任意给定的正整数n(n≥2),数列满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.求b1+b2+…+bn.
解：（ⅰ当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．从而．
．故．ⅱ）因为，所以．所以。故。
陕西文20已知实数列等比数列，其中成等差数列。
ⅰ)求数列的通项公式；
ⅱ)数列的前项和记为证明：＜128…).
解：（ⅰ设等比数列的公比为，由，得，从而，，．
因为成等差数列，所以，即，．所以．故．
山东理17设数列满足，．
ⅰ）求数列的通项；（ⅱ设，求数列的前项和．
解：(i)
验证时也满足上式，
ii)，，山东文18
设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
1）求数列的等差数列；（2）令求数列的前项和．
解：（1）由已知得解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，解得．
由题意得．．故数列的通项为．
2）由于由（1）得，
又，是等差数列．
故．全国2理21
设数列的首项．
1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．
21．解：（1）由整理得．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得。
（2）方法一：由（1）可知，故．那么。
又由（1）知且，故，因此为正整数．
方法二：由（1）可知，因为，所以．
由可得，即。
两边开平方得．即为正整数．
全国2文17
设等比数列的公比，前项和为．已知，求的通项公式．
解：由题设知，则 ②
由②得，因为，解得或．
当时，代入①得，通项公式；
当时，代入①得，通项公式．
全国1理22
已知数列中，，．
ⅰ）求的通项公式；（ⅱ若数列中，证明：，．
解：（ⅰ由题设：
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，．
ⅱ）用数学归纳法证明．
ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．
ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．
当时， 又，所以。
也就是说，当时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．
全国1文21
设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，.求，的通项公式；（ⅱ求数列的前n项和．
解：（ⅰ设的公差为，的公比为，则依题意有且。
解得，．所以，．
－①得，辽宁理21
已知数列，与函数，，满足条件：，.i）若，，，存在，求的取值范围；（ii）若函数为上的增函数，，，证明对任意，（用表示）．
江西理22设正整数数列满足：，且对于任何，有．
1）求，；（2）求数列的通项．
解：（1）根据条件得 ①
当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．
当时，由，解得，所以．
2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时。
由①得。因为时，，所以．
所以．又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
2）方法二：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时。
由①得。即 ②
由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是 ③
又由②右式，．
则．因为两端为正整数，则，所以．
又因时，为正整数，则 ④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
江西文21设为等比数列，，．
1）求最小的自然数，使；（2）求和：．
解：（1）由已知条件得，因为，所以，使成立的最小自然数．
得。所以．
江苏理20已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，1）若是大于的正整数，求证：；（4分）
2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）
3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）
解：设的公差为，由，知，（）
1）因为，所以，所以。
2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。
3）设数列中有三项成等差数列，则有。
2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。
湖南理21已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…
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