2024年高考数学试题分类汇编。
数列（三）三、 解答题：
10.（湖南卷18）.（本小题满分12分）
数列。(ⅰ)求并求数列的通项公式；
(ⅱ)设证明：当。
解： (因为所以。
一般地，当时， ，即。
所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此。
当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此。
故数列的通项公式为。
ⅱ)由(ⅰ)知， ①
①-②得，
所以。要证明当时，成立，只需证明当时，成立。
证法一。(1)当n = 6时，成立。
(2)假设当时不等式成立，即。
则当n=k+1时，
由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，
证法二。令，则。
所以当时，.因此当时，
于是当时，
综上所述，当时，
11.（陕西卷22）．（本小题满分14分）
已知数列的首项，，．
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）证明：对任意的，，；
ⅲ）证明：．
解法一：（ⅰ又，是以为首项，为公比的等比数列．
ⅱ）由（ⅰ）知，原不等式成立．
ⅲ）由（ⅱ）知，对任意的，有。
取，则．原不等式成立．
解法二：（ⅰ同解法一．
ⅱ）设，则。
当时，；当时，当时，取得最大值．
原不等式成立．
ⅲ）同解法一．
12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（ⅰ小问5分，（ⅱ小问7分。）
设各项均为正数的数列满足。
ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；
ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列的通项公式。
解：(ⅰ因。
由此有，故猜想的通项为。
令。由题设知x1=1且。
因②式对n=2成立，有。
下用反证法证明：
由①得。因此数列是首项为，公比为的等比数列。故。
又由①知 因此是是首项为，公比为-2的等比数列，所以。
由④-⑤得。
对n求和得。
由题设知。即不等式22k+1＜
对kn*恒成立。但这是不可能的，矛盾。
因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=
将x2=代入⑦式得。
sn=2－(nn*),所以bn=2sn=22－(nn*)
13.（广东卷21）．（本小题满分12分）
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（1）证明：，；2）求数列的通项公式；
3）若，，求的前项和．
解析】（1）由求根公式，不妨设，得。
2）设，则，由得，消去，得，是方程的根，由题意可知，
当时，此时方程组的解记为。
即、分别是公比为、的等比数列，由等比数列性质可得， ,两式相减，得，
即， 当时，即方程有重根，即，得，不妨设，由①可知，
即，等式两边同时除以，得，即。
数列是以1为公差的等差数列，综上所述，
3）把，代入，得，解得。
14.（浙江卷22）（本题14分）
已知数列，，，记．．
求证：当时，ⅰ）
本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．
ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
当时，因为是方程的正根，所以．
假设当时，因为。
所以．即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
ⅱ）证明：由，（）得．
因为，所以．
由及得， 所以．
ⅲ）证明：由，得。
所以，于是，故当时，又因为， 所以．
15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分）
在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）
ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
ⅱ）证明：．
本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．
解：（ⅰ由条件得。
由此可得。 2分。
猜测． 4分。
用数学归纳法证明：
当n=1时，由上可得结论成立．
假设当n=k时，结论成立，即。
那么当n=k+1时，所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知对一切正整数都成立． 7分。
n≥2时，由（ⅰ）知． 9分。
故。综上，原不等式成立． 12分。
2024年高考数学试题分类汇编统计
七 统计。一 选择题。1 四川理1 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下 27 5，31 5 1l 31 5，35 5 12 35 5 39 5 7 39 5,43 5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在 31 5，43 5 的概率约是。abcd 答案 b 解析 从到共有22，所以。...
2024年高考数学试题分类汇编 统计
七 统计。一 选择题。1 四川理1 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下 27 5，31 5 1l 31 5，35 5 12 35 5 39 5 7 39 5,43 5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在 31 5，43 5 的概率约是。abcd 答案 b 解析 从到共有22，所以。...
2024年高考数学试题分类汇编统计
七 统计。一 选择题。1 四川理1 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下 27 5，31 5 1l 31 5，35 5 12 35 5 39 5 7 39 5,43 5 3 根据样本的频率分布估计，数据落在 31 5，43 5 的概率约是。abcd 答案 b 解析 从到共有22，所以。...