1.（15北京理科）设是等差数列。 下列结论中正确的是。
a．若，则b．若，则。
c．若，则d．若，则。
答案】c考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法。
2.（15北京理科）已知数列满足：，，且．
记集合．ⅰ）若，写出集合的所有元素；
ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
ⅲ）求集合的元素个数的最大值．
答案】（1），（2）证明见解析，（3）8
解析】试题分析：（ⅰ由，可知则；（ⅱ因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则m中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数。第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合m中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.
试题解析：（ⅰ由已知可知：
ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则m中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数。
ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，m中的数除以9的余数，由定义可知，和除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.
归纳法证明；3.数列元素分析。
3.（15北京文科）已知等差数列满足，．
ⅰ）求的通项公式；
ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
答案】（1）；（2）与数列的第63项相等。
解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力。第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数。
试题解析：（ⅰ设等差数列的公差为d.
因为，所以。
又因为，所以，故。
所以 .ⅱ）设等比数列的公比为。
因为，所以，.
所以。由，得。
所以与数列的第63项相等。
考点：等差数列、等比数列的通项公式。
4.（15年广东理科）在等差数列中，若，则。
答案】．解析】因为是等差数列，所以，即，，故应填入．
考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．
5.（15年广东理科）数列满足 ,
(1) 求的值；
(2) 求数列前项和；
(3) 令，，证明：数列的前项和。
满足。答案】（1）；（2）；（3）见解析．
3）依题由知，考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．
6.（15年广东文科）若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．
答案】解析】
试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．
考点：等比中项．
7.(15年广东文科) 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．
求的值；证明：为等比数列；
求数列的通项公式．
答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式。
8.（15年安徽理科）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，1）求数列的通项公式；
2）记，证明。
9.（15年安徽文科）已知数列中，，（则数列的前9项和等于。
答案】27考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和。
10.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且。
1）求数列的通项公式；
2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。
答案】（1）（2）
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考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和。
11.（15年福建理科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于（ ）
a．6 b．7 c．8 d．9
答案】d解析】
试题分析：由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选d．
考点：等差中项和等比中项．
12.（15年福建文科）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于___
答案】9考点：等差中项和等比中项．
13.（15年福建文科）等差数列中，，．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，求的值．
答案】（ⅰ解析】
试题分析：（ⅰ利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（ⅱ求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和．
试题解析：（i）设等差数列的公差为．
由已知得，解得．
所以．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
14.（15年新课标2理科）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 (
a）21 （b）42 （c）63 （d）84
答案】b15.（15年新课标2理科）设是数列的前n项和，且，，则___
答案】解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
16.（15年新课标2文科）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
a． b． c． d．
答案】a解析】
试题解析：,.故选a.
考点：等差数列。
17.（15年新课标2文科）已知等比数列满足，则（ ）
答案】c解析】
试题分析：由题意可得，所以 ,故 ,选c.
考点：等比数列。
18.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为。
答案】解析】
试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．
考点：等差中项．
19.（15年陕西文科）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为___
答案】5考点：等差数列的性质。
20.（15年陕西文科）设。
i)求；ii)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且。
答案】(i) ；ii)证明略，详见解析。
解析】试题分析：(i)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；
(ii)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得。
故，继而得。
试题解析：(i)由题设，所以。
由。①②得。
所以 (ii)因为。
所以在内至少存在一个零点，又。
所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以。
由此可得。故。
所以。考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列。
21.（15年天津理科）已知数列满足，且。
成等差数列。
i)求q的值和的通项公式；
ii)设，求数列的前n项和。
答案】(i); ii).
解析】试题分析：(i)由得先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(ii)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可。
试题解析：(i) 由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为。
考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前项和公式。3.错位相减法。
22.（15年天津文科）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，.
）求和的通项公式；
）设，求数列的前n项和。
答案】（）解析】
试题分析：（）列出关于q与d的方程组，通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（）用错位相减法求和。
试题解析：（）设的公比为q,的公差为d,由题意，由已知，有消去d得解得，所以的通项公式为，的通项公式为。
）由（）有，设的前n项和为，则。
两式相减得。
所以。考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和。
23.（15年天津文科）已知函数。
）求的单调性；
）设曲线与轴正半轴的交点为p,曲线在点p处的切线方程为，求证：对于任意的正实数，都有；
）若方程有两个正实数根且，求证：.
答案】（）的单调递增区间是，单调递减区间是；（）见试题解析；（）见试题解析。
解析】试题解析：（）由，可得，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减。所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是。
）设，则， 曲线在点p处的切线方程为，即，令即则。
由于在单调递减，故在单调递减，又因为，所以当时， ,所以当时， ,所以在单调递增，在单调递减，所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数，都有。
考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用。
24.(15年浙江理科)
25.（15年湖南理科）设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .
答案】.考点：等差数列的通项公式及其前项和。
26.（15年山东理科）设数列的前项和为，已知。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若数列满足，求数列的前项和。
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