教学目标：通过研究数列的特征和性质，让学生掌握判定数列中的项的常用方法，学会处理数列单调性的相关问题，从而提高学生对问题分析、转化与突破的能力。
教学重点：求解方程整数解的方法与作差法处理数列的单调性。
教学难点：方程整数解的存在性判定，离散型不等式恒成立的转化。
教学过程：开场白，明确本课的主题。
研究对象：通项与和式；
研究模型：等差数列和等比数列。
研究问题：(1)判断是否为数列中的项；
2)数列中项的相关性质（最值与单调性）.
一．小题训练。
1.若数列满足：，则为数列中的第项。
2.若公差非零的等差数列中且成等比数列，则 .
3.若数列的前项和为，其中，则 .
参***：1.等差数列，从而，从而；或者。
2.先求基本量，则，得，从而，即。
3.判断为等差数列，从而；利用待定系数法，得，从而。
二．例题分析。
1.判定从属关系。
例1(必修5，p32，习题2.1，4)已知数列的通项公式是，是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
分析：只需要判定方程是否有正整数解。
解：构建方程，则，解得或者，说明56是数列中的第6项。
点评：处理关键是建立方程，从而加以求解。其可以通过因式分解或者配方的方法处理。
变式1：若数列的通项为，判断56是否为数列中的项？
分析：此时基本的想法是构造方程，整理得：，现在问题是如何解？
方法1：为了求未知数，经过分析，则。
说明为54的正因子，所以，此时已经缩小了范围，经过检查，每个都不是解，说明56不是其中的项。
方法2：利用方程与函数的关系，把方程的解转化成函数的零点，从而构造：
又，从而函数在单调增，又因为，从而根据零点的存在性定理，知零点，故不存在正整数解，即56不是其中的项。
点评：通过以上特殊问题的研究，不难发现判定项的问题，其实就是建立方程加以求解。 其方程具有特殊性，求整数解，除了可以利用函数的观点来处理，还可以有独特的处理方法，即因子分析加以缩小范围。
真题1(2009江苏) 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，.
1)求数列的通项公式及前项和；
2)试求所有的正整数，使得为数列中的项。
分析：等差数列的基本量，题目中提供了两个等量关系，所以容易得到首相和公差，从而得到通项和和式。而第二小问，需要我们判断是否为其中的项，首先要具体化，从而来观察，发现分子两次，分母一次，希望“作除法”的过程中没有余数，既能被整除。
解答：(1)设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，所以的通项公式为，前项和。
2)为整数，从而。
因为是奇数，所以可取的值为，当，时，为数列中第5项；
当，时，不是数列中的项，从而满足条件的正整数为。
点评：对于整数的问题，我们要思考其特殊性，如果我们了解一点整数理论的知识，也许我们可以通过相邻三个奇数是两两互质的，那么很快可以得到分母只能是，从而更快捷的解决问题。
2.判断单调特性。
例2`(必修5，p32，习题2.1，6(2))已知数列的通项公式是，这个数列所有项中有没有最小项？
分析：由于数列是离散型的函数，因此可以通过图象加以观察。
解答：通过配方，，所以当时，此项最小，即第四项是最小项。
点评：数列也是一种函数，其特殊性在于离散型，可以参考函数的研究方法。
变式2. 已知数列的通项公式为，若对于任意正整数，都有，则实数的范围为。
分析：我们刚才把这个问题看成函数处理的，此时判断对称轴的位置，那么本题是否也可以借鉴，那需要注意什么？如果不这么处理，我们该如何刻画一个比一个大？这种比较大小该如何转化？
方法1：函数的观点。考察函数，其对称轴与1，2比较而言，应该靠近1，从而，即。
方法2：不等式比较。转化为恒成立问题，具体化之后恒成立，整理得：恒成立，从而。
点评：虽然数列是特殊的函数，可以从单调性（图象）来观察，但要注意其离散性，这对我们以后讨论一些离散型的问题应该有所启发．两者相比较而言，就本题而言，比较倾向于“比较法”．
练习：若数列的通项为，则数列是否存在最小项？
分析：暂时不能画出其函数图象，但可以从函数的角度观察到：当自变量足够大的时候，应该整体是单调增的，从而只需要考虑前面几个，因此可以通过“走几步看看”来实现作为填空题的愿望，同时也能得到一个直观的感觉，从而可以选择“先猜后证”的处理方法．
从而感觉到最小项是第三项，我们如何加以证明呢？
方法１：通过对函数关系的研究，发现只有当时，，从而最小项确定．
方法２：通过的正负来判断增减性．，可知当时，从而从第三项起，数列单调递增，于是只需要考察前三项，从而第三项为最小项．
点评：通过以上方法的考察，不难发现，数列中的具体数值的计算，可以带给我们数列整体的感觉；另外函数的观点要起到一个先导性的作用，可以给我们指明方向，但具体的证明或者理由还需要依赖相邻两项的比较，进而确定通过这样的递推关系，得到数列的单调性．
真题2(2008全国ii) 设数列的前项和为．已知，，．
1)设，求数列的通项公式；
2)若，，求的取值范围．
分析：已知条件中给出的和式和通项的混合关系，因此需要将其中一个转化，得到递推关系，此时观察到第一小问给我们作了精妙的提示，也就是我们首先需要研究的问题是数列中的和式，由此需要将其中的通项转化为和式，从而得到和式的关系，再用代入法处理数列的递推关系。 从第二小问的角度，可以首先得到和式，再一次转化为通项来比较大小，得到参数的范围。
解：(1)由和式与通项的关系，得到，即，由此得．因此类似等比数列的通项，从而得到：
所求通项公式为，．
2)由(1)知，，于是，当时， ，从而当时，恒成立，从而分离变量，得到．
说明此时从第二项起单调递增，于是比较前两项的关系为：，恒成立．
综上，所求的的取值范围是．
方法2：由，即，从而恒成立，于是，，化简得：，因此。
点评：在处理和式和通项关系的时候，应该根据需要的方向即时选择，可以说是要“因题制宜”，当然题目铺设了更好的台阶提供给我们，更为我们处理的时候方便。 对于第二小问的问题，如果要求通项，则无统一形式；但题目中可以根据特殊性进行转化，也是对题目的一种研究。
三．课堂小结。
本节课我们花了点时间研究了数列中项的两个问题，其一判断是否为其项，主要涉及等量关系，即方程的整数解，可分析因子，或者研究函数零点；
其二是数列的单调性，主要涉及不等关系中的离散情况的恒成立情况，主要就是作差比较的方法。
涉及到的数学思想方法，包括函数与方程的思想，数形结合的思想，也有一些方法值得注意，数列的整体感觉，先猜后证的研究方法，估算缩小范围的想法等。
作业：1.若数列的通项公式为，则是该数列中的第项。
2.已知数列的通项公式为满足：存在正整数使得为数列中的某一项，求公比 .
3.若数列的通项公式为，则该数列的最大项是第项。
4.已知不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围为 .
5.已知函数，数列满足。
1)求数列的通项公式；(2)求证：数列是递减数列。
思考题：(2010重庆) 在数列中， =1，，其中实数。
1)求的通项公式；
2)若对一切，有，求的取值范围。
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