1. 已知数列满足》0，且对一切n∈n+ ，有=，其中sn=ai，ⅰ）求证：对一切n∈n+，有－an+1=2sn；
ⅱ）求数列的通项公式；
ⅲ）求证： ＜3．
解 (ⅰ由=sn2， (1由=sn＋12， (2)
2)－(1)，得=(sn+1+sn)(sn+1－sn)=(2 sn+an+1) an+1．
an+1 >0，∴an＋12－=2sn．
ⅱ)由an＋12－=2sn，及an2－an =2sn－1 (n≥2)，两式相减，得(an+1+ an)( an+1－an)= an+1+ an．
an+1+ an >0，∴an+1－an =1(n≥2
当n=1,2时，易得a1=1，a2=2，∴an+1 － an =1(n≥1)．
成等差数列，首项a1=1，公差d=1，故an=n ．
2.已知数列的前n项和为sn，且对任意正整数n都有2sn＝(n＋2)an－1．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，求．
解（ⅰ）解法一：在2sn＝（n＋2）an－1中令n＝1，得2 a1＝3 a1－1，求得a1＝1，令n＝2，得2（a1＋a2）＝4a2－1，求得a2＝；令n＝3，得2（a1＋a2＋a3）＝5 a3－1，求得a3＝2；令n＝4，得2（a1＋a2＋a3＋a4）＝6 a4－1，求得a4＝．由此猜想：an＝． 3下面用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，a1＝＝1，命题成立．（2）假设当n＝k时，命题成立，即ak＝，且2sk＝（k＋2）ak－1，则由2sk＋1＝（k＋3）ak＋1－1及sk＋1＝ sk＋ak＋1，得（k＋3）ak＋1－1＝2sk＋2ak＋1，即（k＋3）ak＋1－1＝[（k＋2）ak－1]＋2ak＋1．则ak＋1＝＝，这说明当n＝k＋1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈n*命题均成立。
解法二：在2sn＝（n＋2）an－1中，令n＝1，求得a1＝1．∵ 2sn＝（n＋2）an－1，∴ 2sn－1＝（n＋1）an－1－1． 当n≥2时，两式相减得：2（sn－sn－1）＝（n＋2）an－（n＋1）an－1，即 2 an＝（n＋2）an－（n＋1）an－1整理得，． 3分1＝． 当n＝1时，＝，满足上式，∴＝由（ⅰ）知＝，则＝＝2
3..数列｛｝的前ｎ项和满足：＝２n．（ｎ
1)求数列｛｝的通项公式；
2)数列｛｝中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组。
适合条件的项；若不存在， 请说明理由．
解：(1)当ｎ∈ｎ时有：＝２nn+1)，两式相减得：＝2
又。数列｛＋３是首项6，公比为2的等比数列．
从而+3另解：归纳猜想再用数学归纳法证，过程略，请相应给分．
（2） 假设数列｛｝中是否存在三项， ,r∵<<只能是＋＝２即＋＝．
均为正整数，式左边为奇数右边为偶数，不可能成立．
因此数列｛｝中不存在可以构成等差数列的三项．
4. 已知数列中，是。
的前n项和，又如果b≠0，求。
解：…5. 设数列前项和为，且(3,其中m为常数，m
1)求证：是等比数列；
2)若数列的公比q=f(m),数列满足求证：为等差数列，求。
1）由。是等比数列。
6. 已知数列满足下列条件：，
1）求的解析式；
2）求的通项公式；
3）试比较与的大小，并加以证明。
解：（1由①②可得，
2），两式相减得，即，则有且。
，则．（3）① 又 ②
由①②可得，
可用数学归纳法证明，或者。
7. 设是由正数组成的无穷数列，sn是它的前n项之和，对任意自。
然数与2的等差中项等于sn与2的等比中项。
（1）写出；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
（3）记。解（1）根据已知，当n=1时，…
当n=2时，
当n=3时，
分别等于2，6，10
………6分，由（1），是以2为首项，4为公差的等差数列，数列的通项公式。
若用数学归纳法相应给分。
（3）令。8. 已知函数f（x）=，ar．
1)当x [a+1，a+2]时，求f（x）的取值范围；
2)证明：函数y=f（x）的图象关于点（a，－1）成中心对称图形；
3)我们利用函数y=f（x）构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的x，令x=f（x），x=f（x），…x=f（x－1），…
在上述构造数列的过程中，如果x（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x不在定义域中，则构造数列的过程停止。
如果可以用上述方法构造出一个常数列，求实数a的取值范围；
如果取定义域中任一值作为x，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数a的值。
f(x)=－1－在[a+1，a+2]上是增函数，又f (a+1)=－2，f (a+2)=－f (x) [2，－]
2)证明：设点p（x，y）是函数y=f (x)图象上任一点，则y=－1－，点p关于点（a，－1）的对称点为p（2a－x，－2－y）.
f (2a－x)=－1－
f (2a－x)=－2－y，即点p在函数y=f (x)的图象上，所以函数y=f (x)的图象关于点（a，－1）成中心对称图形。
3）①根据题意，只需xa时，f(x)=x有解，即有解，即x+(1－a)x+1－a=0有不等于a的解。
将x=a代入方程左边，得左边=1，故方程不可能有解x=a。
由△0时，得a－3或a1，即为所求实数a的取值范围。
根据题意， 在r中无解，即xa时，（1+a）x=a+a－1无解。
由于x=a不是方程（1+a）x= a+a－1的解，所以对于任意xr，（1+a）x= a+a－1无解。
a=－1，即为所求a有值。
9. 已知数列的通项公式为，数列中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由。
解： （1）当时，易见
所以数列中不存在最大项
（2）当时， 易见
（i）当是，易见
所以数列中的第1项最大。
（ii）当时 （仅在n=1时，等式成立）
即所以数列中的第1项和第2项最大。
iii）当时若且为整数，记=n，易见。
所以数列中的第n项和第n+1项最大。
若不是整数，记n为不超过的最大整数，易见。
所以数列中的第n+1项最大。
10.数列是等比数列，a1＝1，公比q是的展开式中的第二项(按x的降幂排列)．
(1)求数列的通项an与前n项和sn；
(2)若，求an．
1)解：∵ 的第二项为，∴q＝x ∴an＝xn－1，
1) 解：当x＝1时，
2) 又。∴，an＝n · 2 n－1 8分。
当x≠1时，
11.设数列满足：若；若．
1）求：；2）若，求证：；
3）证明：．
解：（1）=22；
3）由（2）知。
12. 直线与x轴．y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为，（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）
ⅰ）求和的值；
ⅱ）求及的表达式；
ⅲ）对个整点用红．黄．蓝．白四色之一着色，其方法总数为an，对个整点用红．黄．两色之一着色，其方法总数为bn，试比较an与bn的大小．
）解：n=3时，直线x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）个点，直线x=1上有（1，0）（1，1）（1，2），直线x=2上有（2，0）（2，1），直线x=3上有（3，0）
所以…ⅱ）解：n=1时，b1=3, a1=0
n=2时，b1=6, a2=0
当n≥3时，
当n=1．2时也满足。
所以。ⅲ）对于个整点中的每一个点都有4种着色方法，故。
对于个整点中的每一个点都有2种着色方法，故…
当n=1．2．3．4．5．6．7．8时。
当n≥9且n∈n*时，
13. 设函数的定义域为r，当时，，且对任意的实数r，有成立。数列满足，且(n)．
１）求的值；
２）若不等式对一切n均成立，求的最大值．
解：(1)令，，得， ,故。
当时， ,进而得。
设r，且，则， ,故，函数在r上是单调递减函数。
由，得。故， ,n)
因此，是首项为1,公差为2的等差数列。由此得，.
2) 由恒成立，知恒成立。
设，则，且。
又，即，故为关于的单调增函数，.所以， ,即的最大值为。
14. 已知函数上最小值是。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）证明：；
ⅲ）在点列an（2n，）中是否存在两点，使直线的斜率为1？若存在，求出所有的数对；若不存在，请说明理由。
ⅰ）解：由。
ⅱ）证明：
ⅲ）不存在，假设存在两点ai, aj满足题意，即。
15. 已知函数具有下列性质：
（1）当n一定，记的表达式。
（2）对。解（1）
即 即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，，由于。
（2），欲证，只需证明。只需证明。
16. 已知数列的前项为a1=2, 前n项和为sn ,且对任意的n∈n+，n≥2，an总是3sn－4与2－sn－1的等差中项。（1）求通项an;(ii)证明：
（iii）含btn、rn分别为的前n项和是否存在正整数n，使得tn 2006年高考数列试题评析 以理科为例 序号。卷别全国卷 题型选择题。题号10主要考查知识点等差数列的性质。解答题。北京卷。选择题解答题。重庆卷。选择题填空题。浙江卷。填空题解答题。22 压轴 7 20 压轴 21411 20 压轴 22 压轴 递推关系求通项公式，不等式。等比数列的性质。等差数列，... 课标理数湖北卷 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 课标理数湖北卷 解析 设所构成的等差数列的首项为a1，公差为d，由得解得所以a5 a1 4d 课标理数湖北卷 已知数列的前n项和为sn，且满足 ... 17 2014 江西卷 已知数列的前n项和sn n n 1 求数列的通项公式 2 证明 对任意的n 1，都存在m n 使得a1，an，am成等比数列 18 2014 江西卷 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0.1 当a 4时，求f x 的单调递增区间 2 若f x 在区间 1，4 上的...2023年高考数列试题评析
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