一、数列的通项公式与前n项的和的关系。
（注：该公式对任意数列都适用）
（注：该公式对任意数列都适用）
（注：该公式对任意数列都适用）
（注：该公式对任意数列都适用）
二、等差与等比数列的基本知识。
1、等差数列。
1 通项公式与公差：
定义式： 一般式：
推广形式：；
前项和与通项的关系：
前n项和公式： .
前n项和公式的一般式：
应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。
与的关系：（注：该公式对任意数列都适用）
例：等差数列直接利用通项公式作差求解）
常用性质：
若m+n=p+q ，则有；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；
等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；
为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．也成等差数列，a、 构成的新数列公差为d=m2d，即m2d=(s2m-sm)- sm；
b、 对于任意已知sm，sn，等差数列公差，即也构成一个公差为等差数列。
若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ②
若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。
例：已知等差数列，其中。
解析：法一，用等差数列求和公式求出。
法二，，成等差数列，设公差为d，则：
法三， 63. 等比数列的通项公式：
①一般形式：；
推广形式：，
其前n项的和公式为：，或。
数列为等比数列。
常用性质：
1 若m+n=p+q ，则有；特别地：若的等比中项，则有n、m、p成等比数列；
2 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；
为等比数列，为其前n项和，则，，．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；
设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
定义法：是等差数列。
中项法：是等差数列。
一般通项公式法：
是等差数列。
一般前项和公式法：
是等差数列。
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
1）定义法： 为等比数列；
2）中项法： 为等比数列；
3）通项公式法： 为等比数列；
4）前项和法： 为等比数列。
为等比数列。
数列最值的求解。
1），时，有最大值；，时，有最小值；
2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；
可用二次函数最值的求法（）；或者求出中的正、负分界项，即：
若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
例1：等差数列中，，则前项的和最大。
解析】：例2．设等差数列的前项和为，已知
求出公差的范围，指出中哪一个值最大，并说明理由。
解析】：由，可知，n=12是前n项和正负分界项，故所以，最大。
变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d的取值范围是。
解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。
3、若数列的前n项和，则 ，数值最小项是第项。
解析】：法一（导数法）：
根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，令，取得最小值，其中，可见当n=3时取得最小。
法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n…时的的值，再进行比较发现。
4、已知数列。
解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令。
法二（列举法）：实在没招时使用该法。
5、 已知等差数列的前n项和 。解析】：
数列通项公式的求法：
类型1：等差数列型。
思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则。
所以数列的通项公式为。
变式： 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
类型2：等比数列型。
把原递推式转化为，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
例 （2023年全国i第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②用②式－①式得则；故。
所以 ③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
类型4：待定系数法处理或型数列。
把原递推式转化为转化思路：
例，数列。解：令，所以即是公比为2的等比数列，=（或令，是公比为2的等比数列，所以，变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。
变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为。
变式3：已知数列满足，，求数列的通项公式。
思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为。
变式4：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：：换元，则，再代入原递推式，再转化为。
类型5 已知递推式求。
这种类型一般利用导出，消去，得到与的递推式，再利用前面的方法求解出（知识迁移：）
例，已知数列前n项和，求：（1），（2）通项。
解：（1）2）由上式：，令，即有，而，所以， 2，公差为2,的等差数列，
类型6：求。
用作商法：
数列求和的常用方法。
然数和公式：
一、利用等差等比数列的求和公式求和。
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
例1] 已知，求的前n项和。
解：由，由等比数列求和公式得 ＝＝1－（利用等比数列求和公式）
例2] 设sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值。
解：由等差数列求和公式得，
∴ 当，即n＝8时，
二、错位相减法求和。
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中、分别是等差数列和等比数列。
例3] 求和。
解：由题可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积。
设。－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
例4] 求数列前n项的和。
解：由题可知，{}的通项是等差数列的通项与等比数列{}的通项之积。设。
三、反序相加法求和。
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。
[例5] 求的值。
解：设………
将①式右边反序得。
又因为 ，①得
s＝44.5
题1 已知函数。
1）证明：；
2）求的值。
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边。
2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：
所以。四、分组法求和。
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
例5] 求数列的前n项和：，…
解：设。将其每一项拆开再重新组合得。
当a＝1时。
时，＝五、裂项法求和。
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。 通项分解（裂项）如：
例6] 求数列的前n项和。
解：设。则。
例7] 在数列中，，又，求数列的前n项的和。
解： ∵ 数列的前n项和。
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求sn.
[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179°的值。
解：设sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·cos178°+ cos179°
sn＝ （cos1°+ cos179°）+cos2°+ cos178°）+cos3°+ cos177°）+
（cos89°+ cos91°）+cos90°＝ 0
[例9] 在各项均为正数的等比数列中，若的值。
解：设。由等比数列的性质找特殊性质项）
和对数的运算性质得。
（合并求和）
2023年高考数学专题讲义 数列综合
第八讲数列综合 高考在考什么。考题回放 1.宁夏 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于 b 2.江西 已知等差数列的前项和为，若，则7 3.辽宁卷 在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于。abcd.解析 因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则。即，所以，故选择答案c。4.湖南 设集合...
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2023年高考数学数列专题解读
作者 靳文岚。甘肃教育 2015年第08期。关键词 数学教学 数列 解读。中图分类号 g633.6 文献标识码 c 文章编号 1004 0463 2015 08 0123 01 数列是高中数学的重要内容，也是高考数学的重要考查内容。2014新课标全国卷 理科数学高考中数列为第18大题，分值12分 文...