——等差、等比数列是重要的、基本的数列，许多其它数列要转化成这种数列来处理，要站好这块地盘。
一、明确复习目标。
1．理解等差数列的概念和性质；
2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能用公式解决简单问题。
二．建构知识网络。
1．定义：
2．通项公式：，推广：
d=，d=是点列（n，an）所在直线的斜率。
3．前n项的和：
变式： =4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项：2b=a+c
5．性质：设是等差数列，公差为d,则。
1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq
2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列。
3) sn, s2n-sn, s3n-s2n……组成公差为n2d的等差数列。
4)当n=2k-1为奇数时，sn=nak；s奇=kak，s偶=(k-1)ak (ak=a中)
6．等差数列的判定方法(n∈n*)
1)定义法： an+1-an=d是常数 (2)等差中项法：
3)通项法： (4)前n项和法：
7．知三求二， 可考虑统一转化为两个基本量；或利用数列性质，三数：, 四数。
8.会从函数角度理解和处理数列问题。
三、双基题目练练手。
1.（2006全国ⅱ）设是等差数列的前项和，若，则( )
abcd）2. (2006广东) 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 (
a 5 b 4 c 3 d 2
3.等差数列中，a10＜0，a11＞0且a11＞|a10|，sn为其前n项和，则。
a. s10小于0，s11大于0 b. s19小于0，s20大于0
c. s5小于0，s6大于0 d. s20小于0，s21大于0
4.(2006天津)已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、．设（），则数列的前10项和等于。
a．55b．70c．85d．100
5.等差数列的前n项和记为sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则s13=
6.在等差数列中，已知，则n= .
简答 3. a11＞|a10|=－a10，∴a10+a11=a1+a20＞0.
s20=10（a1+a20）＞0.选 b
5. a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p.
s13==13a7=p.
6.设首项为，公差为，则。
四、经典例题做一做。
例1】(1)若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数。
(2)等差数列的前10项的和前100项的和，求前110项的和。
解(1) 2)分析一：方程的思想，将题目条件应用公式表示成关于首项与公差的两个方程。
解法一：设的首项为，公差，则。
分析二：运用前n项和变式：
解法二：为等差数列，故可设，则。
解法三： 方法提炼：本题是等差数列的基本计算，要求熟练准确。
题(1)利用了等差数列的性质和前sn公式的特点；
题(2)法一：转化为两个基本量，是重要的方法；法二利用了前n项和公式的函数式特征。
例2】数列的前n项和为sn=npan（n∈n*）且a1≠a2，1）求常数p的值；
2）证明：数列是等差数列。
分析：（1）注意讨论p的所有可能值。
2）运用公式an= 求an.
解：（1）当n=1时，a1=pa1，若p=1时，a1+a2=2pa2=2a2，a1=a2，与已知矛盾，故p≠1.则a1=0.
当n=2时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0.
a1≠a2，故p=.
2）由已知sn=nan，a1=0.
n≥2时，an=sn－sn－1=nan－（n－1）an－1.
=.则=，…n≥3)
=n－1.∴an=（n－1）a2， an－an－1=a2. (n≥3)
又a2-a1=a2,所以从第二项起每项减去前项的差是同一常数。
故是以a2为公差，以a1为首项的等差数列。
提炼拓展： 证明等差数列的方法：1.
由定义an-an-1=d, 2.等差中项，3.通项公式an=pn+q,例3．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？
并求出所相同项的和。
分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。
解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数列为，则。
数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4
又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，所以两个数列有25个相同的项。
其和。分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。
解：设数列5，8，11，…和3，7，11…分别为。
设中的第n项与中的第m项相同，即。
根据题意得：
从而有25个相同的项，且公差为12，其和。
另法：由m=3r知第r个相同的项为b3r=12r-1…)
方法提炼：法1:设两数列中an=bm,求出n(或m)应满足的关系，再代回an(或bm)
法2:两等差数列中相同的项成等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数。
例4、等差数列中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。
解法1:由已知
又，两式相除得，从而由②得：a1+a7=22, 又已知 a1-a7=18,可解得 a1=20,a7=2.
公差d=-3, an=-3n+23.
解法2:利用前奇数项和与中项的关系。
令m=2n-1，n∈n+
则 , n=4, m=7, an=11
a1+am=2an=22, 又a1-am=18
a1=20，am=2
d=-3 an=-3n+23
提炼拓展；利用求和公式和性质；转化为两个基本量行吗？行．
研讨。欣赏】 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.1）若，求；
2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……依次类推，把已知数列推广为无穷数列。
[解]（1）.
（2），当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列。
解题回顾：方法是基本的——转化为基本量，利用通项公式。题(3)考查类比的能力。
五．提炼总结以为师。
1.等差数列的概念和性质，证明数列是等差数列的方法：
2.等差数列的通项公式与前n项和公式的求法与应用；
五个元素a1，an，n，d，sn中知三，可求另两个。
3.思想。方法 :转化为基本量，利用性质，方程的思想，同步练习等差数列。
【选择题】1.在等差数列中，am=n,an=m,则am+n的值为。
a）m+n （b） （cd）0
2. (2006全国ⅰ)设是公差为正数的等差数列，若，，则。
abcd 3.如果，，…为各项都大于零的等差数列，公差，则。
a）（b）（c）++d）=
4.（2004重庆）若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是。
a 4005 b 4006 c 4007 d 40084．
填空题】5.（2005天津）在数列中，a1=1,a2=2,且则s100=__
6.（2003全国）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=
简答。提示： 5.
2600; 6.设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2∵m+n=p+q时，am+an=ap+aq.设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，m=，n=.
∴m－n|=.
解答题】7.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；
分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量。
解：设等差数列首项为，公差为d，则。
8.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数。
解：设数列共2m+1 （m∈n*）把该数列记为｛an｝
依题意a1+a3+……a2m+1=44 且a2+a4+……a2m=33
即 (a2+a2m)=33 （1）
(a1+a2m)=44 （2
1）÷（2）得 ∴m = 3代入（1）得a2+a2m = 22
∴am+1==11
即该数列有7项，中间项为11
9.已知数列的前n项和sn=n2-2n，bn=，证明：数列是等差数列。
证明：sn=n2－2n，a1=s1=－1.
当n≥2时，an=sn－sn－1=n2－2n－（n－1）2+2（n－1）=2n－3，a1满足上式即an=2n－3.
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