2015高考数学《新高考创新题型》
5.数列（含精析）
一、选择题。
1．已知函数，.定义：，，满足的点称为的阶不动点。则的阶不动点的个数是（ ）
a.个b.个 c.个 d.个。
2．函数f1（x）＝x3，f2（x）＝，f3（x）＝，f4（x）＝|sin（2πx）|，等差数列中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用pk表示数列的前2014项的和，则（ ）创作：学科网“天骄工作室”
3．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（n>l，n∈n*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则=（
a． b． c． d．
4．已知函数f(x)是定义在r上不恒为零的函数，且对于任意实数a,b∈r,满足：f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=(n∈n*),bn=(n∈n*).
考察下列结论： ①0)= 1); x)为偶函数； ③数列为等比数列； ④数列为等差数列。其中正确的结论共有( )
a.1个b.2个 c.3个d.4个。
5．对于各项均为整数的数列，如果为完全平方数，则称数列具有“p性质”，如果数列不具有“p性质”，只要存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“p性质”，则称数列具有“变换p性质”，下面三个数列：
数列1，2，3，4，5； ②数列1，2，3， ，11,12； ③数列的前n项和为。
其中具有“p性质”或“变换p性质”的有( )
abc．①②d．①②
6．已知与都是定义在r上的函数，，且，且，在有穷数列中，任意取前项相加，则前项和大于的概率是（ ）
abcd.
二、填空题。
7．在数列中， ,若（k为常数）,则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是创作：学科网“天骄工作室”）
8．若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为。 已知数列满足，现给出以下命题：
若，则可以取3个不同的值
若，则数列是周期为的数列。
且，存在，是周期为的数列。
且，数列是周期数列。其中所有真命题的序号是。
9．已知数列()，其前项和为，给出下列四个命题：
若是等差数列，则三点、、共线；
若是等差数列，且，，则、、…这个数中必然存在一个最大者；
若是等比数列，则、、(也是等比数列。
若(其中常数)，则是等比数列；
若等比数列的公比是(是常数), 且则数列的前n项和。（其中正确命题的序号是将你认为正确命题的序号都填上)
10．已知数列满足，给出下列命题：
当时，数列为递减数列。
当时，数列不一定有最大项。
当时，数列为递减数列。
当为正整数时，数列必有两项相等的最大项。
请写出正确的命题的序号创作：学科网“天骄工作室”）
三、解答题。
11．设数列满足：①；所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3
1）请写出数列1,4,7的伴随数列；
2）设，求数列的伴随数列的前之和；
3）若数列的前项和（其中常数），求数列的伴随数列。
的前项和．
12．已知数列是等差数列，其前n项和为sn，若，．
1）求；2）若数列满足条件：，当时，－，其中数列单调递增，且，．
试找出一组，，使得；
证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．
13．数列满足。
1）设，求数列的通项公式。
2）设，数列的前n项和为，不等式对一切成立，求m的范围。
14．已知等差数列中，，公差；数列中，为其前n项和，满足：
ⅰ）记，求数列的前项和；
ⅱ）求证：数列是等比数列；
ⅲ）设数列满足，为数列的前项积，若数列满足，且，求数列的最大值。
15．已知为单调递增的等比数列，且，，是首项为2，公差为的等差数列，其前项和为。
1）求数列的通项公式；
2）当且仅当，，成立，求的取值范围。
1．d.【解析】函数，当时，当时，，∴的阶不动点的个数为，当，，，当，，，当，，，当，的阶不动点的个数为，以此类推，的阶不动点的个数是个。
仿前可知，p4＝2[f4（a504）－f4（a1）＋f4（a505）－f4（a1008）]＜2（sin－sin0＋sin－sinπ）＝1 故p4＜1
3．a解析】试题分析：由已知，数列是首项为，公差为的等差数列，通项为；
所以，则。．故答案为．
4．c解析】令，再令，所以有(0)= 1)知①正确；令，从而令故知(x)为奇函数，故知②错误；对于③,由于(2)=2,所以；从而，猜想…，成等比数列且，用数学归纳法可证明此结论：对于n=1时，猜想显然成立；假设当时，猜想正确，即，从而，那么当时， 这就是说当时猜想也成立，故，故③正确；对于④,因为。
6．a解析】可知，同号由得。
又得解得a=或a=2
a=时， =可知是以首项为，公比为的等比数列，则前k项和为=
令》 解得k=5 所以前五项相加和才大于。
a=2时， =可知是以首项为2公比为2 的等比数列则前k项和。
显然k=1 时2>.
联立①②得概率为。故选a
7．①④解析】由等差比数列的定义可知，等差比数列的公比不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列；当是等比数列时，当公比时，不是等差比数列；数列是公比为等差比数列，该数列中有无数多个0。
8．①②解析】对于①，根据条件，当m＞2时，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6满足条件；当m∈（1，2]时，有a2＝m－1∈（0，1]，则a3＝，于是＝4，m＝满足条件；若m＝1，则an＝1恒成立，不可能有a3＝4，当m∈（0，1）时，有a2＝＞1，a3＝－1，于是－1＝4，m＝满足条件。故①正确。
对于②，逐个推导可得：a1＝，a2＝－1，a3＝，a4＝， 是周期为3的周期数列。故②正确。
对于③，要想使得是周期为t的周期数列，因为m＞1，故只需使得at＝，则at＋1＝m，而m＞1，可使得at＝m－（t－1），即m－（t－1）＝，于是m2－（t－1）m－1＝0，该关于m的方程两根之积为－1，必为异号两根，而根之和为t－1≥1，故其正根m必定大于1，满足条件，故③正确；
对于④，仿照③可知，当t＝1时，m＝1不满足条件。
当t∈n*且t≥2时，若m为整数，则必定在若干项以后出现an＝1，之后成为常数数列，不合题意，故m为非整数，且m＝（舍负），要使得m∈q，则必为有理数（且为整数），令其为n，且t－1＋n不是偶数，否则m为整数，即t＋n是偶数，所以，t与n同奇或同偶。
由t2－2t＋5＝n2知，t与n不能同为偶数，当t为奇数时，t2是奇数，等式左边是偶数，这与n2为奇数矛盾。
综上，这样的条件不可能满足。故④错误。
10．③④解析】选项①：当时，，有，，则，即数列不是递减数列，故①错误；
选项②：当时，，因为，所以数列可有最大项，故②错误；
选项③：当时，，所以，即数列是递减数列，故③正确；
选项④：，当为正整数时，；当时，；当时，令，解得，，数列必有两项相等的最大项，故④正确。
所以正确的选项为③④.
解析】（1）本题解题的关键是抓住新定义中“是数列中，满足不等式的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前20项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和与的关系，代入得，求出伴随数列的各项，再对分类讨论得。
解： 解：（1）由伴随数列的定义得，数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对）
2）由，得
当时， （创作：学科网“天骄工作室”）
12．（1）；（2）①，证明见解析．
解析】（1）设数列的首项为，公差为，利用基本量表示有关量进行求解；（2）先根据固定，再根据，验证是否存在符合题意；由的结论。先猜后证。
解：（1）设数列的首项为，公差为，由，，得， 解得，（创作：学科网“天骄工作室”）
所以。2）①因为，若，因为，所以，，此方程无整数解；
若，因为，（所以，，此方程无整数解；
若，因为，所以，，解得，所以，满足题意。
由①知，，，则，一般的取，
此时，则＝－＝所以为一整数平方．
因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．
13．（1）；（2）或。
解析】（1）由已知得，所以，这样可以累差求出的通项公式。
可以求出的前项和，根据题意，这样可以求出m的取值范围。
解：由已知得，所以，则，叠加得，因为，所以。
故。故，所以或。
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