考题分类】一）选择题（共5 题）
1.（福建卷理10）对于具有相同定义域的函数和，若存在函数（为常数），对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”。给出定义域均为d=的四组函数如下：，；
其中，曲线与存在“分渐近线”的是。
abcd．③④
答案】c解析】要透过现象看本质，存在分渐近线的充要条件是时，。对于，当时便不符合，所以不存在；对于，肯定存在分渐近线，因为当时，；对于，，设且，所以当时越来愈大，从而会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；当时，，因此存在分渐近线。故，存在分渐近线的是选c
命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是时，进行做答，是一道好题，思维灵活。
2.（广东卷文10）在集合上定义两种运算和如下：w_w k#s5_ o*m
那么d a．ab．bc．cd．d
解：由上表可知：,故，选a。
3.（湖北卷理10文10）记实数，，…中的最大数为max，最小数为min。已知abc的三边长位a,b,c（），定义它的亲倾斜度为。
则“=1”是“abc为等边三角形”的。
a.必要而不充分的条件b.充分而不必要的条件。
c.充要条件d.既不充分也不必要条件。
答案】a解析】若△abc为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若△abc为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则，此时l=1仍成立但△abc不为等边三角形，所以a正确。
4.（山东卷理12文12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，u），b=（p，q），另a⊙b=mq-np，下面的说法错误的是。
a）若a与b共线，则a⊙b=0
b）a⊙b=b⊙a
c）对任意的λ∈r，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）
d）（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2 |b|2
答案】b解析】若与共线，则有，故a正确；因为，而。
所以有，故选项b错误，故选b。
命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
w5.（浙江卷理10）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是。
a）4b）6 （c）8d）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选b，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题。
二）填空题（共5题）
1.（福建卷文15）对于平面上的点集ω，如果连接ω中任意两点的线段必定包涵ω，则称ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是写出所有凸集相应图形的序号）.
答案】②③解析】根据题意，在①④中任取两点，连接起来，如下图，不符合题意。
2.（湖南卷理15）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则。
答案】2，
解析】因为，而，所以m=1,2,所以2.
所以＝1,＝4，＝9，＝16，猜想。
命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、**能力，属难题。
3.（湖南卷文15）若规定e=的子集为e的第k个子集，其中k= ，则（1）是e的第___个子集；（2）e的第211个子集是___
答案】（1）是e的第___5_个子集；
2）e的第211个子集是___
4.（四川卷理16）设s为复数集c的非空子集。若对任意，都有，则称s为封闭集。下列命题：
集合s＝为封闭集；
若s为封闭集，则一定有；
封闭集一定是无限集；
若s为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。
其中真命题是写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确。
当s为封闭集时，因为x－y∈s，取x＝y，得0∈s，②正确。
对于集合s＝，显然满足素有条件，但s是有限集，③错误。
取s＝，t＝，满足，但由于0－1＝－1t，故t不是封闭集，④错误。
答案：①②5.（四川卷文16）设s为复数集c的非空子集。若对任意，都有，则称s为封闭集。下列命题：w_w w. k#s5_ o*m
集合s＝为封闭集；
若s为封闭集，则一定有；
封闭集一定是无限集；
④若s为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集。
其中真命题是写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确。
当s为封闭集时，因为x－y∈s，取x＝y，得0∈s，②正确。
对于集合s＝，显然满足素有条件，但s是有限集，③错误。
取s＝，t＝，满足，但由于0－1＝－1t，故t不是封闭集，④错误。
答案：①②w_w w. k#s5_ o*m
三）解答题（共6题）
1.（北京卷理20）已知集合对于，，定义a与b的差为a与b之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ) 设p，p中有m(m≥2)个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为(p).
证明：（p）≤.
证明：（i）设，，
因为，，所以， 从而。又。
由题意知，，
当时，;当时，
所以。ii)设，，
记，由（i）可知。
所以中1的个数为，的1的个数为。
设是使成立的的个数，则。
由此可知，三个数不可能都是奇数，即， ,三个数中至少有一个是偶数。
iii）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=
由于所以。从而。
2. （北京卷文20）已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）当n=5时，设，求，；
ⅱ）证明：，且；
ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅰ）解： =1,0,1,0,1）
设是使成立的的个数。则。
3.（广东卷理21））设a(),b()是平面直角坐标系xoy上的两点，先定义由点a到点b的一种折线距离ρ(a,b)为ρ(a,b)= 对于平面上给定的不同的两点a(),b()
1) 若点c（x, y）是平面上的点，试证明ρ+ρ
2) 在平面上是否存在点c(x, y),同时满足若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明。
解析：设a(),b()是平面直角坐标系xoy上的两点，先定义由点a到点b的一种折线距离p(a,b)为。
当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立。
2）当点c(x, y) 同时满足①p+p= p，②p= p时，点是线段的中点。，即存在点满足条件。
4.（江苏卷23）已知△abc的三边长为有理数。
1）求证cosa是有理数。
2）对任意正整数n，求证cosna也是有理数。
解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，∴cosa是有理数。
2）①当时，显然cosa是有理数；
当时，∵，因为cosa是有理数， ∴也是有理数；
假设当时，结论成立，即coska、均是有理数。
当时，解得：
cosa，，均是有理数，∴是有理数，是有理数。 即当时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosna是有理数。
方法二）证明：（1）由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知。
是有理数。2）用数学归纳法证明cosna和都是有理数。
当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。
假设当时，和都是有理数。
当时，由，及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosna是有理数。
5.（上海卷理22）若实数、、满足，则称比远离。
1）若比1远离0，求的取值范围；
2）对任意两个不相等的正数、，证明：比远离；
3）已知函数的定义域。任取，等于和中远离0的那个值。写出函数的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
解析：(1)；
2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a3b3比a2bab2远离；
3)，性质：1f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，2f(x)是周期函数，最小正周期，3函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kz，4函数f(x)的值域为．
6.（上海卷文22）若实数、、满足，则称比接近。
1）若比3接近0，求的取值范围；
2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；
3）已知函数的定义域。任取，等于和中接近0的那个值。写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x(2,2)；
2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2bab2比a3b3接近；
3),kz，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期t，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kz．
2023年高考人教版理科数学创新演练 集合
创新演练。一 选择题。1 理 2013 四川高考 设集合a 集合b 则a b a c d a 由题意可得，a b a b 故选a 1 文 2013 四川高考 设集合a 集合b 则a b a b c d b 2 2014 广州模拟 设全集u 集合a b 则a ub 等于。a b c d d 由题意可知...
2023年高考数学创新题型
例如，用十六进制表示 e d 1b，则。a 6eb 72c 5fd b0 10 设p是 abc内任意一点，s abc表示 abc的面积，1 2 3 定义f p 1,3 若g是 abc的重心，f q 则。a 点q在 gab内b 点q在 gbc内。c 点q在 gca内d 点q与点g重合。二 填空题 共6...
2023年高考数学《新高考创新题型》之5 数列 含精析
2015高考数学 新高考创新题型 5.数列 含精析 一 选择题。1 已知函数，定义 满足的点称为的阶不动点。则的阶不动点的个数是 a.个b.个 c.个 d.个。2 函数f1 x x3，f2 x f3 x f4 x sin 2 x 等差数列中，a1 0，a2015 1，bn fk an 1 fk an...