2024年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线。
2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点。
1）若点满足，求点的坐标；
2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点。若，证明：为的中点；
3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标。
解析：(1) ；
2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以》0，即，设c(x1,y1)、d(x2,y2)，cd中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2k1)xp，又因为，所以，故e为cd的中点；
3) 因为点p在椭圆γ内且不在x轴上，所以点f在椭圆γ内，可以求得直线of的斜率k2，由知f为p1p2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．
直线of的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x22x480，解得p1(6,4)、p2(8,3)．
2010湖南文数）19.（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的a、b两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过a、b两点的直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到a、b两点的距离之和不超过10km的区域。
i） 求考察区域边界曲线的方程：
ii） 如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：
经过多长时间，点a恰好在冰川边界线上？
2010浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点。
ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；
ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为。若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围。
解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
（ⅰ）解：因为直线经过，所以，得，又因为，所以，故直线的方程为。
ⅱ）解：设。
由，消去得。
则由，知，且有。
由于，故为的中点，由，可知。
设是的中点，则，由题意可知。即。即。
而。所以。
即。又因为且。
所以。所以的取值范围是。
2010全国卷2理数）（21）（本小题满分12分）
己知斜率为1的直线l与双曲线c：相交于b、d两点，且bd的中点为．
（ⅰ）求c的离心率；
（ⅱ）设c的右顶点为a，右焦点为f，，证明：过a、b、d三点的圆与x轴相切．
命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力。
参***】点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定。
2010陕西文数）20.（本小题满分13分）
ⅰ）求椭圆c的方程；
(ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点p，与椭圆相交于a,b两点的直线立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。
2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）
设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。
ⅰ）求椭圆的焦距；
ⅱ）如果，求椭圆的方程。
解：（ⅰ设焦距为，由已知可得到直线l的距离。
所以椭圆的焦距为4.
（ⅱ）设直线的方程为。
联立。解得。因为。即。
得。故椭圆的方程为。
2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
设椭圆c：的左焦点为f，过点f的直线与椭圆c相交于a，b两点，直线l的倾斜角为60o,.
i) 求椭圆c的离心率；
ii) 如果|ab|=，求椭圆c的方程。
解：设，由题意知＜0，＞0.
ⅰ）直线l的方程为 ，其中。
联立得。解得。
因为，所以。
即 得离心率6分。
ⅱ）因为，所以。
由得。所以，得a=3，.
椭圆c的方程为12分。
2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线c：相交于b、d两点，且bd的中点为m（1.3）
ⅰ）（求c的离心率；
ⅱ）（设c的右顶点为a，右焦点为f，|df|·|bf|=17证明：过a、b、d三点的圆与x轴相切。
解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于bd两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率。
2）利用离心率将条件|fa||fb|=17，用含a的代数式表示，即可求得a，则a点坐标可得（1，0），由于a在x轴上所以，只要证明2am=bd即证得。
2010江西理数）21. （本小题满分12分）
设椭圆，抛物线。
1） 若经过的两个焦点，求的离心率；
2） 设a（0，b），,又m、n为与不在y轴上的两个交点，若△amn的垂心为，且△qmn的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。
解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。
1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。
2)由题设可知m、n关于y轴对称，设，由的垂心为b，有。
由点在抛物线上，，解得：
故，得重心坐标。
由重心在抛物线上得：，，又因为m、n在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。
2010安徽文数）17、（本小题满分12分）
椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。
(ⅰ)求椭圆的方程；
ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。
17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力。
解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得。
解：（ⅰ设椭圆e的方程为。
规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程。
2010重庆文数）（21）（本小题满分12分，（ⅰ小问5分，（ⅱ小问7分。 ）
已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率。
ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值。
2010浙江文数）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）
的焦点f在直线上。
i）若m=2，求抛物线c的方程。
ii）设直线与抛物线c交于a、b，△a,△的重心分别为g,h
求证：对任意非零实数m,抛物线c的准线与x轴的焦点在以线段gh为直径的圆外。
2010重庆理数）（20）（本小题满分12分，（i）小问5分，（ii）小问7分）
已知以原点o为中心，为右焦点的双曲线c的离心率。
i） 求双曲线c的标准方程及其渐近线方程；
ii） 如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点e在双曲线c上，直线mn与两条渐近线分别交与g、h两点，求的面积。
2010山东文数）（22）（本小题满分14分）
如图，已知椭圆过点。，离心率为，左、右焦点分别为、
.点为直线上且不在轴上的任意。
一点，直线和与椭圆的交点分别为、
和、，为坐标原点。
（i）求椭圆的标准方程；
（ii）设直线、的斜线分别为、.
（i）证明：；
（ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。
2010北京文数）（19）（本小题共14分）
已知椭圆c的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆c交与不同的两点m，n，以线段为直径作圆p,圆心为p。
ⅰ）求椭圆c的方程；
ⅱ）若圆p与x轴相切，求圆心p的坐标；
ⅲ）设q（x，y）是圆p上的动点，当t变化时，求y的最大值。
解：（ⅰ因为，且，所以。
所以椭圆c的方程为。
ⅱ）由题意知。
由得。所以圆p的半径为。
解得所以点p的坐标是（0，）
ⅲ）由（ⅱ）知，圆p的方程。因为点在圆p上。所以。
设，则。当，即，且，取最大值2.
2010北京理数）（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xoy中，点b与点a（-1,1）关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于。
ⅰ)求动点p的轨迹方程；
ⅱ)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点m,n，问：是否存在点p使得△pab与△pmn的面积相等？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由。
i）解：因为点b与a关于原点对称，所以点得坐标为。
设点的坐标为。
由题意得。化简得 .
故动点的轨迹方程为。
ii）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为，.
则直线的方程为，直线的方程为。
令得，.于是得面积。
又直线的方程为，点到直线的距离。
于是的面积。
当时，得。又，所以=，解得。
因为，所以。
故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为。
解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为。
则。因为，所以。
所以。即 ，解得。
因为，所以。
故存在点s使得与的面积相等，此时点的坐标为。
2010四川理数）（20）（本小题满分12分）
2024年高考数学圆锥曲线试题
1 设，点a的坐标为 1,1 点b在抛物线上运动，点q满足，经过点q与x轴垂直的直线交抛物线于点m，点p满足，求点p的轨迹方程。2 已知椭圆。过点 m,0 作圆的切线i交椭圆g于a，b两点。i 求椭圆g的焦点坐标和离心率 ii 将表示为m的函数，并求的最大值。3 已知直线l y x m，m r。i ...
高考数学圆锥曲线
高考数学 圆锥曲线 规律方法总结。一 基本方法 1.待定系数法 2.齐次方程法 3.韦达定理法 4.点差法 5.距离转化法 即斜线长度转化为水平或竖直距离 例2.设椭圆过点，且左焦点为。求椭圆的方程 当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，段上取点，满足，证明 点总在某定直线上。解 1 高考举例 12...
高考圆锥曲线
1.2015高考新课标1，文5 已知椭圆e的中心为坐标原点，离心率为，e的右焦点与抛物线的焦点重合，是c的准线与e的两个交点，则 a b c d 答案 b2.2015高考重庆，文9 设双曲线的右焦点是f，左 右顶点分别是，过f做的垂线与双曲线交于b，c两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为 abcd 答...