2024年高考数学试题集 13 概率

将2024年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.(安徽文科第9题）从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于。

abcd)

9）d【命题意图】本题考查古典概型的概率问题。属中等偏难题。

解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为。故选d.

2.（福建理科第4题，文科第7题）如图，矩形abcd中，点e为边cd的中点，若在矩形abcd 内部随机取一个点q，则点q取自△abe内部的概率等于。

a. b. cd.

答案：c3.（福建理科第13题）袋中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于___

答案： 4.（广东理科6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．

若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为。

a． b． c． d．

d）．乙获得冠军的概率为，则甲队获得冠军的概率为。

瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为结果用最简分数表示）

答案】解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件a，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件b，则a与b是对立事件，因为。

所以，所以填。

7、（湖南理科15）如图4，是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形内”，b表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则。

答案：（1）；（2）

解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；

2）由条件概率的计算公式可得。

8．（湖南文科15）已知圆直线。

1）圆的圆心到直线的距离为．

2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为．

答案：5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；

2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为。

9.（江西理科12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书。则小波周末不在家看书的概率为。

答案：解析：方法一：不在家看书的概率为。

方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率。

10.（四川理科12）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量。从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。

记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则。

（abcd）

答案：b基本事件：由于有两个偶数和三个奇数，因此共有向量，没有任何两个向量共线，所以可以组成的平行四边形的个数为个，设是两个不共线的向量，以它们为平行四边形的相邻两边组成的平行四边形的面积为，其中面积为的平行四边形由向量对组成共3对；面积为4的是由向量对组成共2对，因此面积不超过4的平行四边形共5个，即。

所以，11.（四川文科12）在集合中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则。

abcd）答案：b

解析：∵以原点为起点的向量有、、、共6个，可作平行四边形的个数个，结合图形进行计算，其中由、、确定的平行四边形面积为2，共有3个，则，选b．

12.（四川文科17）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．

1）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；

2）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．

解：（1）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件a、b，则。

答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

2）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件c，则。

答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为。

13.（江西文科16）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5

杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为a饮料，另外2杯为b饮料，公司要求此员工。

一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯a饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3

杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对a和b两种饮料没有鉴别能力．

1）求此人被评为优秀的概率；

2）求此人被评为良好及以上的概率．

解：（1）设三杯a饮料分别为，二杯b饮料分别为，员工从五杯饮料中，选择三杯的所有情形为。

共10种情形；

而3杯均选中共有一种，故概率为。

（2）员工选择的所有情形有10种，良好以上有两种可能。

3杯均选中共有一种；

3杯选中2杯共有六种；

因此，此人被评为良好及以上的概率为。

14.（浙江理科9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本。若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为。

（abcd）

答案】b 解析】只有两本语文书相邻的情形有种，同样只有两本数学书相邻的情形有，两本语文书相邻且两本数学书相邻的情形有，因此同一科目的书都不相邻的概率为古典概型的概率公式得。

15（浙江文科8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是。

（abcd）

答案】d解析】由古典型的概率公式得：.

16（山东文18）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。

i）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；

ii）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率。

解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)，甲男2, 乙男)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女，乙男) (甲女，乙女1)、(甲女，乙女2) ，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女，乙女1)、(甲女，乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为。

2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1, 乙女2) (甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女，乙男) 、甲男1, 乙女1)、(甲男2, 乙女1)、(甲女，乙女1)、(甲男1, 乙女2)、甲男2, 乙女2)、甲女，乙女2) 、共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男，乙女1)、(乙男，乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为。

17（辽宁理5）从中任取各不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到的2个数均为偶数”，则。

(abcd)

答案：b解法1：两个奇数的和为偶数，两个偶数的和为偶数，所以，所以；

解法2：因为，，所以。

18（天津文15）编号为的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：

ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；

ⅱ）从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；

ii）求这2人得分之和大于50的概率．

本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。

（ⅰ）解：4，6，6

（ⅱ）i）解：得分在区间内的运动员编号为从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：，共15种。

（ii）解：“从得分在区间内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件b）的所有可能结果有：，共5种。

所以。19（全国大纲文19）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立。

(i)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(ii)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。

命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力。

解析】记a表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：

b表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

c表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

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