[key] 2023年试题答案。
以cosθ除分式的分子和分母，得。
把oa绕着o点按反时针方向旋转150°,设a点到达的位置为b,写出b点所表示的复数的代数式。
[key] 2.解：
辐角是k·360°+60°.
其中k为任何整数)
2)b点所表示的复数的模数是2,而辐角的主值是60°+150°=210°,b点所表示的复数是：
2(cos210°+isin210°)
3.如图，ab为半圆的直径，cd⊥ab.已知ab=1,ac:cb=4:1,求cd
[key] 3.解：∵ab=1,ac:cb=4:1,4.从二面角内任意一点向二面角的两个面作垂线，求证这两条垂线所决定的平面垂直于二面角的棱。(要求画图)
[key] 4.证法一：
已知：二面角m-ab-n,p是m-ab-n内任意一点，pc垂直平面m于c,pd垂直平面n于d.
求证：平面pcd⊥ab.
证明：∵pc⊥平面m,pc和ab垂直，pd⊥平面n,pd和ab垂直。
平面pcd⊥ab.
证法二：已知：同证法一。
求证：同证法一。
证明：∵pc⊥平面m,过pc的平面pcd⊥平面m.
pd⊥平面n,过pd的平面pcd⊥平面n.
平面pcd垂直平面m和n的交线。
而ab即是平面m和n的交线，平面pcd⊥ab.
5.利用下列常用对数表，计算23.28-1.1
[key] 5.解：lg23.28-1.1=-1.1×lg23.28
6.解方程：sin3x-sinx+cos2x=0.
[key] 6.解法一：
sin3x-sinx+cos2x=0,2cos2xsinx+cos2x=0,cos2x(2sinx+1)=0
n是整数)n是整数)
解法二：sin3x-sinx+cos2x=0,3sinx-4sin3x)-sinx+(1-2sin2x)=0,整理，得 4sin3x+2sin2x-2sinx-1=0.
分解，得 (2sinx+1)(2sin2x-1)=0.
n是整数)7.用1,2,3,4,7,9组成没有重复数字的五位数，问；
1)这样的五位数一共有多少个？
2)在这些五位数中，有多少个是偶数？
3)在这些五位数中，有多少个是3的倍数？
[key] 7.解：
1)从这六个数字中，取出五个数字，共能排成。
个五位数。2)在所求的偶数中，末位必须取这两个数字中的一个，这有两种方法，取定末位后，再从其余五个数字中任取四个，排成其他四位，这有。
种方法。因此，共有。
个五位数是偶数。
3)一个整数是不是3的倍数，要看它的各位数字之和是不是3的倍数，这六个数字1,2,3,4,7,9之和是26,因此只有除去2,余下的五个数字之和才是3的倍数。由此可知，所取的五个数字必须是1,3,4,7,9.因此，共有。
p5=5!=120
个五位数是3的倍数。
限定在实数范围内)
[key] 8.解法一：
2)的两边平方，得。
xy+3=x2,即 x2-xy=3. (3)
将(1)的两边乘以3,得。
3x2-6xy-3y2=3. (4)
从(4)的两边分别减去(3)的两边，得。
2x2-5xy-3y2=0.
分解，得。2x+y)(x-3y)=0,2x+y=0,x-3y=0.
检验后，x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解；x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
方程组的解是：
解法二：2)的两边平方，得。
代入(1),得。
整理，得。2x4-11x2+9=0.
分解，得。x2-1)(2x2-9)=0.
x2-1=0,∴x1=1,x2=-1;
将x的值代入(3),得。
检验后，x1,y1与x3,y3是原方程组的两组解。
x2,y2与x4,y4不适合方程(2).
方程组的解是：
9.如图，线段cd与⊙o相交于a、b两点，且ac=bd,又ce、df分别与⊙o相切于e、f.
求证：△oec≌△ofd.
[key] 9.证法一：
连结oa,ob.
oa=ob,∴∠oab=∠oba;
∠oac=∠obd.
又ac=bd,∴△oac≌△obd,∴oc=od.
ce、df分别切⊙o于e、f,∴∠oec、ofd都是直角。
在△oec与△ofd中：
∠oec=∠ofd=90°,oe=of,oc=od,△oec≌△ofd.
证法二：ce、cb分别是⊙o的切线与割线，ce2=ca·cb=ca(ca+ab).
同理，df2=db·da=db(db+ab).
ca=db,∴ce2=df2,∴ce=df
ce、df分别切⊙o于e、f,∴∠oec、∠ofd都是直角。
在△oec与△ofd中：
∠oec=∠ofd=90°,oe=of,ce=df,△oec≌△ofd.
10.如图，半径为1的球，内切于圆锥(即直圆锥),已知圆锥的母线与底面的夹角是2θ.
3)当θ是什么值的时候，圆锥的全面积最小？(θ用反三角函数表示)
图中v是圆锥的顶点，vb是母线，o是球心，a是球和圆锥底面的切点。)
[key] 10.解：(1)设c为母线vb与球相切的切点。
连oa、ob、oc,则oa=oc=1,ob=ob,oab=∠ocb=90°,故 △oab≌△ocb.
由此可知，oba=∠obc=θ.
设圆锥的底面半径为r,母线为l,则。
于是。2)设圆锥的全面积为t,则。
3)欲使t最小，只要使tg2θ(1-tg2θ)最大即可。由于。
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