圆锥曲线。
重庆文。12）已知以f1（2,0），f2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为。
abcd）21）（本小题满分12分，（ⅰ小问4分，（ⅱ小问8分）
如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点f，且与抛物线交于a、b两点。
题（21）图。
ⅰ）求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程；
ⅱ）若a为锐角，作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p，证明|fp|-|fp|cos2a为定值，并求此定值。
21）（本小题12分）
ⅰ）解：设抛物线的标准方程为，则，从而。
因此焦点的坐标为（2，0）.
又准线方程的一般式为。
从而所求准线l的方程为。
答（21）图。
ⅱ）解法一：如图（21）图作ac⊥l，bd⊥l，垂足为c、d，则由抛物线的定义知。
fa|=|fc|,|fb|=|bd|.
记a、b的横坐标分别为xxxz，则。
fa|＝|ac|＝解得，类似地有，解得。
记直线m与ab的交点为e，则。所以。故。
解法二：设，，直线ab的斜率为，则直线方程为。
将此式代入，得，故。
记直线m与ab的交点为，则。
故直线m的方程为。
令y=0,得p的横坐标故。
从而为定值。
重庆理。16）过双曲线的右焦点f作倾斜角为的直线，交双曲线于pq两点，则|fp||fq|的值为。
22) (本小题满分12分)如图，中心在原点o的椭圆的右焦点为f（3，0），右准线l的方程为：x = 12。
1）求椭圆的方程；
2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明。
为定值，并求此定值。
浙江文。10）已知双曲线的左、右焦点分别为f1、f2，p是准线上一点，且p f1⊥p f2，｜p f1｜｜p f2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是。
(a) (b) (c)2 (d)3
21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于a、b两点，记△aob的面积为s．
(i)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，s的最大值；
（ⅱ)当｜ab｜＝2，s＝1时，求直线ab的方程．
21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．
i)解：设点a的坐标为(，点b的坐标为，由，解得。
所以。当且仅当时，．s取到最大值1．
ⅱ）解：由得。
ab又因为o到ab的距离所以 ③
代入②并整理，得。
解得，，代入①式检验，△＞0
故直线ab的方程是
或或或．浙江理。
9）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是（ ）
天津文。7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
ⅰ）证明；ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．
22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中。
由于点在椭圆上，有，解得，从而得到，直线的方程为，整理得。
由题设，原点到直线的距离为，即。
将代入原式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为，过点作，垂足为，易知，故。
由椭圆定义得，又，所以。
解得，而，得，即．
ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组。
的解．当时，由①式得。
代入②式，得，即。
于是， 若，则。
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．
天津理。22．（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
ⅰ）证明；ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．
22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，将代入上式并化简得，即．
证法二：同证法一，得到点的坐标为．
过点作，垂足为，易知，故．
由椭圆定义得，又，所以，解得，而，得，即．
ⅱ）解法一：设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．
点的坐标满足方程组。
将①式代入②式，得，整理得，于是，．
由①式得。由知．将③式和④式代入得，将代入上式，整理得．
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组。
所以，．由知，即，解得．
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为 ．
解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．
记（显然），点的坐标满足方程组。
由①式得． ③
由②式得． ④
将③式代入④式得．
整理得，于是． ⑤
由①式得． ⑥
由②式得． ⑦
将⑥式代入⑦式得，整理得，于是． ⑧
由知．将⑤式和⑧式代入得，将代入上式，得．
所以，点的轨迹方程为．
四川文。5）如果双曲线＝1上一点p到双曲线右焦点的距离是2,那么点p到y轴的距离是。
abcd)
10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点a、b，则|ab|等于。
a.3b.4c.3d.4
解析：选c．设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
21）(本小题满分12分)
求f1、f2分别是椭圆的左、右焦点。
ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点p的作标；
ⅱ）设过定点m（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点a、b，且∠adb为锐角（其中o为作标原点），求直线的斜率的取值范围。
解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．
ⅰ）易知，，．设．则。
又，联立，解得，．
ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立， 由，得．①
又为锐角，又。
综①②可知，∴的取值范围是．
四川理。20）（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点。
ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（ⅰ解法一：易知。
所以，设，则。
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值。
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值。
解法二：易知，所以，设，则。
以下同解法一）
ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：
由得：或。又。
又，即 ∴故由①、②得或。
上海理。8、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。
21、已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。
1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
2）若，求的取值范围；
3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。
21．[解]
1）∵f0（c，0）f1（0，），f2（0，）
| f0f1 |＝f1f2 |＝
于是，，所求“果圆”方程为。
x≥0），（x≤0）． 4分。
2）由题意，得a＋c＞2b，即．
（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得 ……7分。
又b2＞c2＝a2－b2，∴．
3）设“果圆”的方程为（x≥0）（x≤0）
记平行弦的斜率为k．
当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆（x≥0）的交点是。
与半椭圆（x≤0）的交点是q（）．
p、q的中点m（x，y）满足。
得．a＜2b，∴．
综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆……14分。
当k＞0时，以k为斜率过b1的直线l与半椭圆（x≥0）的交点是。
由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． …17分。
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． …18分。
上海文。21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．
我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，，．
如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．
1）若是边长为1的等边三角形，求该。
果圆”的方程；
2）设是“果圆”的半椭圆。
上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．
21．解：（1），于是，所求“果圆”方程为，．
2）设，则， 的最小值只能在或处取到．
即当取得最小值时，在点或处。
（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可。
当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是。
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