４４ 中学数学月刊２０１年第１期。
郑日锋 （浙江省杭州学军中学 ３１
纵观２０１年的高考试题，各省不乏出现立意高远、背景熟悉、内涵丰富、设问通俗、解答多样的创新试题．这些创新试题到底新在**？解决创。
新题的方法怎样？这是高三教师值得**的两个。
问题．本文以２０１年高考函数创新题为例予以阐述，以期抛砖引玉．１分析判断型。
分析判断型的创新题分为两类，一是给出命题的条件，要求判断可能（或不可能）出现的结果；二是即时定义一个概念，要求判断与此概念有关。
的命题的真假．这两类问题都需要认真审题，充分。
利用数学推理进行分析判断．
例１（浙江卷理科第１０题）设ａ，ｂ为实数，ｆ（一（ｉｚ口一（ａｘ
记集合ｓ一｛ｌｆ一０，ｌ
｝，ｔ一｛ｚ｛一０，ｚ若ｌｓ 分。
别为集合ｓ，ｔ的元素个数，则下列结论不可能的。是（
且ｌｔ 一且且ｌｔ 一２（ｄ一２且ｌｔ 一３
解析１由题意，当－厂（ｚ）一０时，可得ｚ＋ａ一０或同理，ｇ（一ｏ时，有ａｌｅ或当口≠０时，方程伽＋
—０的实根的倒数必为方程ｚ＋口一０的实根，当。
一０时，方程船＋１—无解，方程ｚ＋口一０有。
一。个解．当ｃ≠０时，方程的实根。
的倒数必为方程－ｚ＋一０的实根．当ｃ一０时，ｚ。一０有两个解，而。
至多有一个解，可知因此选ｄ．
解析２当ａ≠０时，方程＋１一ｏ的实根的倒数必为方程ｚ＋ａ一０的实根，当ｎ一０时，方程。
１—０无解，方程ｚ＋ａ一０有一个解．当ｃ
０时，由方程与方程具有相同的根的判别式△一６。一４ｃ，可得在△一０，△这三种情况中，方程凹 ＋ｂ
１—０与方程ｚ。＋一０的解的个数相同．
当ｃ—ｏ时，ｚ 一０有两个解，而。
１—０至多有一个解，可得因此选。
解析３ 使用特殊值法求解．取ａ一０，ｂ一０，则ｌｓ 一１且ｊｔ 一０，故淘汰ａ；取ａ一一１，ｂ
一。一，ｃ一１，则ｉｓ 一１且ｌｔ 一１，故淘汰ｂ；取。
一一１，ｂ一２，ｃ一一３，则ｊｓ 一２且１丁ｉ一２，故。
淘汰ｃ．因此选ｄ．
评注本题新在“包装”，一是用集合语言描述函数的零点个数，将集合与函数进行综合；二是结论是不唯一的，从而是开放的，旨在考查学生分析问题与解决问题的能力．要解决本题，三种解法。
都体现了转化思想——将三次方程转化为一次方程或二次方程．通过分析ｆ（ｘ和ｇ（ｘ两个函数的内在联系，得到ｌｓ『解法１的关键是发现：当ｃ≠０时，一元二次方程凹。＋ｂ
的实根的倒数必是方程ｚ ＋的实根；解法２的关键是发现当ｃ≠０时，方程ｃｘ
与方程ｚ ＋一０具有相同的根的判别。
式△一６ 一４ｃ；解法３通过取口，ｂ，的特殊值依次排除ａ，ｂ使问题得到解决．
三种解法都体现了转化思想，解法还运用了分类讨论思想，ａ，是否为０关系着方程的解的个数的差异，解法３还运用了特殊化思想．
例２ （四川卷理科第１６题）函数ｆ（ｘ的定。
义域为ａ，若ｚ ，且ｆ（ｘ一 （）时总有ｘ 一ｘ ，则称ｆ（ｘ为单函数．例如，函数ｆ（ｘ一２ｚ＋是单函数．下列命题：
函数ｆ（ｘ一．ｚ 是单函数；②若ｆ（ｘ为单函数，，ｚ且ｚ ≠则。
若－厂：ａ—为单函数，则对于任意ｂ ｅ它至多有一个原象；
函数ｆ（ｘ在某区间上具有单调性，则。
（ｘ）一定是单函数．命题的编号）其中的真命题是。
（写出所有真。
解析对于①，如一２，２且厂（一２）一。
（２）此时一２≠２所以①错误；对于②，由原命。
题与其逆否命题等价，可得②正确；对于③，若ｂ
０１２年第１期中学数学月刊４５
有两个原象ａ１，则ｆ（ａ一ｆ（ａ而ａ１≠这与厂：ａ—为单函数矛盾，故③正确；对于，只有在所给的区间是定义域时正确．
因此，答案为②，③
评注本题新在“阅读理解”，单函数的概念是即时定义的一个概念，在高中数学新课程教材。
中并没有出现过，是新课程高考常考的一种题型，旨在考查学生的阅读理解能力及进一步学习的潜能．解决此问题需要读懂题目，利用单函数的定。
义、函数单调性的性质并运用逻辑推理判断所给命题的真假．判定所给命题为真命题，常需要利用。
综合法或反证法或命题之间的等价性（原命题与其逆否命题同真同假），而说明所给命题为假命题。
则只需举一个反例．
解决本题体现了等价转化的数学思想方法．
定性分析型。
这类问题常常以图形的运动轨迹为背景，如。
一。个平面图形沿着一条曲线（或直线）滚动，探求。
其中特定点的运动轨迹，这需要学生具有一定的。
洞察能力，并利用一些特殊位置进行定性分析．
例３ （江西卷文科第１０题）如图１，一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方，其“底端”落在。
原点０处，一顶点及中心ｍ在轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的。
边长为半径的三段等弧组成．
图１今使“凸轮”沿．３９轴正向滚动前进，在滚动过。
程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程。
中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按。
上、下放置，应大致为（
／—、一。
图２解析设正三角形的边长为ａ，当三条弧的。
中点在ｚ轴上时，中心ｍ离轴的高度为口一。
譬口；当三角形的三顶点在ｚ轴上时，中心ｍ离。
轴的高度为 ｎ，而ｎ一ｎ＜ａ因此，随着转。
动，ｍ的位置会先由低变高，故排除ｃ，ｄ选项．对。
于最高点，当ｍ最高时，最高点的高度与旋转开。
始时相同，因此排除ｂ，故选ａ．
评注本题新在“情景”，所求的是动点在“凸轮”上运动，同时“凸轮”又在ｘ轴上滚动，也。
就是双重运动的合成的轨迹问题，是由选修４—４
中的外摆线、内摆线联想而来，考查函数的周期。
性、解三角形等知识及动手操作能力、创新思维能。
力．函数是研究两个变量之间的制约关系的重要。
数学模型，本例利用弧的中点及三个顶点观察函数值，进一步得出图象的变化趋势，体现了用运动。
变化的观点研究函数的思想．３综合应用型。
函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、凹凸。
性等是函数的重要性质，也是高考的重点考查内容，近几年高考提高了考查要求，已从显性考查转。
化为隐性考查．另一方面，函数与其他知识的综合也是高考经久不衰的试题．
例４（上海卷理科第１３题）设ｇ（ｘ是定义在ｒ上以１为周期的函数，若函数厂（ｚ）一 —
（ｘ）在区间［３，上的值域为［一２，５则ｆ（ｘ在区间［一１０，上的值域为。
解析。由题意有ｇ（ｘ一ｇ（ｘ可得。
（ｘ）一ｆ（ｘ一１）＋将ｆ（ｘ在［３，上的图象。
先向右平移１个单位，再向上平移１个单位得到。
（ｘ）在［４，上的图象，同理，将ｆ（ｘ在［３，
上的图象先向左平移１个单位，再向下平移１个。
单位得到ｆ（ｘ在［２，上的图象，以此类推，ｆ（在区间［一１０，上的值域为［一１５，
评注本题新在“综合”，将分段函数、函数的周期性、函数的值域、函数的图象变换集于一。
题，解决本题需运用分类讨论思想及数形结合思想．
例５ （福建卷理科第１０题）已知函数厂（ｚ）
一ｅ ＋对于曲线ｙ一厂（）上横坐标成等差数列。
的三个点ａ，ｂ给出以下判断：①△一定是钝角三角形；②△可能是直角三角形；
ａａｂ可能是等腰三角形；④ａ不可能是。
等腰三角形．其中正确的判断是（
解析。显然，ｆ（在ｒ上是增函数，设。
６中学数学月刊２０１年第１期。
初三数学总复习中学生能力的培养。
倪红美 （江苏省苏州市立达中学 ２１
初中数学总复习并不是对以前所学的知识进行简单的回忆和再现，而是要通过对知识的系统复习，使各章节中的知识联系起来并形成完整的知识体系，达到以点成线，以线成面，以面成体的目的．只有这样学生才能把所学的知识融会贯通，也只有这样才能达到学生能力再培养的目的．下面笔者就初三数学总复习中学生能力的再培养问题，谈几点粗浅的看法．
知识梳理能力的训练与培养。
严密审题能力的训练与培养。
结合复习内容，把学生平时解题中容易出现的各种错误再次呈现给学生，特别是学生因审题不清而导致失误的现象让学生究其原因，达到严。
密审题能力的再训练与培养．学生中常见的错误。
有以下几种：
１）概念模糊，对命题中的数学术语及概念理解不清．
例１已知二次方程 。＋一０有整数。
认真梳理基础知识，使知识更系统，脉络更分。
明，这是中考总复习的重要目标．每一份试卷，基。
根，ａ是非负整数，求方程的整数根．
简析部分学生的错解为：因为方程有整数。
础题占到试题总量的６ｏ 甚至更多．这是得分的重要区域，所以不能忽视基础知识的整理．复习时，可将初中内容分为：（１数与式；（２方程与方程组；（３不等式与不等式组；（４函数及图象；（５统计初步；（６线与角；（７三角形；（８四边形；（９相似形；（１解直角三角形；（１圆，共１１大块进行教学．学生应该准确理解每个概念的含义，查缺补漏，把以前的模糊概念理清．另外要知道每一个知识点在整个初中数学中的地位和作用，例如复习因式分解时，既要温习因式分解的定义、方法和一般步骤，还要掌握因式分解在代数式恒等变形、数值的计算、分式运算、根式运算、方程变形中的应用；既要认识因式分解是一个基础知识点，又要体会到它还是一种数学思想和方法．只有将基础知识纵横归纳和梳理，才能把知识更加系统化，才能看到知识间的联系，加深理解，激活。思路．且。
根，所以ａ一９—４则ｎ＜÷又ａ是非负整。
士。数，故ｎ一１或口一２．当ａ一１时，得一。
舍去．当ｎ一２时，得ｚ１＝一１，ｚ一。
厶。．本题错解的原因是，学生对“非负整数”这。
个概念含糊不清，当ｎ一０时，还可求出方程的另两个整数根，如一０，ｚ一一３．
２）忽视命题中的附加条件或隐含条件．例２ 试求当ｍ是何值时，方程ｚ 一（一１）ｚ一（一２）一０有两个互为相反数的实数根？
简析部分学生的错解为：因为＋ｚ。一，所以ｍ一１．但把ｍ一１代入原方程得。
一。一，明显无实根．造成这个错误的原因是，解题。
时学生忽视了此题的隐含条件．因为当ｍ一１时有△＜０不符合题意．正确解答是此题无解．
评注本题新在“角度”，将函数的性质隐性考查，考查等差数列基本知识及两点距离公式，及。
则一，且，（＜厂（
分析问题、解决问题的能力和数形结合思想．
因此，－ｅ———一。
一ｅ ３一ｅｔｔ十ｚ＋ｚ一ｅ ２
由以上例题可见，高考数学创新题是新颖的。
问题，新的方式是多种多样的，如函数创新题，有新在“包装”、“阅读理解”、“情景”、“综合”、“角度”等，概括起来都是新在外表，也就是命题老师通过将熟悉的问题进行改造而成；而解决问题的方法。
依然是一样的，如函数创新题的解题策略是善于运用函数的性质——单调性、奇偶性、周期性、对。
ｚ２一 （ｚ
画出图象，可判断△ａｂ一定是钝角三角形，其中ｂ为钝角顶点．又有ｆ（ｘ一一ｆ（ｘ所以即ａａｂ也不可能是等腰三角形，因此选ｂ．
称性、凹凸性等，及逻辑推理的方法及等价转化、
分类讨论、数形结合等数学思想方法．正所谓“外。
表新颖，内在朴实”．
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1 理科 已知函数 证明 f x 2 f 2a x 0对定义域内的所有x都成立。当f x 的定义域为 a a 1 时，求证 f x 的值域为 3，2 设函数g x x2 x a f x 求g x 的最小值 2.理科 设函数定义在上，对任意的，恒有，且当时，试解决以下问题 1 求的值，并判断的单调性 ...
2023年高考文科数学函数真题
1.函数的定义域为 abcd 1.解析 由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件 解之得，即函数的定义域为，故应选。2.函数 且 的图象可能为 abcd 2.解析 因为，故函数是奇函数，所以排除a，b 取，则，故选d.3.某食品的保鲜时间 单位 小时 与储藏温度 单位 满足函数关系 为自然对数的底...
2023年高考函数
2012年高考 浙江文理 把函数y cos2x 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是。评论 难度 使用次数 8 入库时间 2012 08 16 2012年高考 天津文 将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则...