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函数专题。2014.1寒假。
2024年寒假函数专题精讲。
1． 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义。
域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为
同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为，值域为的“天一函数”共有___个。
答：9）二．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1）函数的定义域是___
答：)；2）若函数的定义域为r，则___
答：)；3）函数的定义域是，，则函数的定义域是。
答：)；4）设函数，①若的定义域是r，求实数的取值范围；②若的值域是r，求实数的取值范围。
答：①；2．根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3．复合函数的定义域：若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。如。
1）若函数的定义域为，则的定义域为。
答：）；2）若函数的定义域为，则函数的定义域为___
答：[1,5]）．
三．求函数值域（最值）的方法：
1．配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如。
1）求函数的值域。
答：[4,8]）；
2）函数的最大值。
2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数。
1）的值域为___
3.分离常数法—针对分式形式。
函数的值域___
答：）4．单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如。
求，的值域。
5、耐克函数法—特定的函数形式。
已知函数，
1）时，求最小值；
2），求最小值。
6．数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如。
1）已知点在圆上，求
答：）；四．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如。
1）设函数，则使得的自变量的取值范围是__
答：）；2）已知，则不等式的解集___
答：）五．求函数解析式的常用方法：
1．待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；
已知为二次函数，且，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。
答：）2．代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式。如。
1）若，则函数=__
答：）；2）若函数是定义在r上的奇函数，且当时，，那么当时。
答：）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即的定义域应是的值域。
3．方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。如。
1）已知，求的解析式。
答：）；2）已知是奇函数，是偶函数，且+=,则= _
答：）。七．函数的奇偶性。
1．确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
定义法：如判断函数的奇偶性___答：奇函数）。
变式训练： 判断下列函数的奇偶性．
1)f(x)＝lg2)f(x)＝(x＋1)；
图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
3．函数奇偶性的性质：
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
若为偶函数，则。如。
若定义在r上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为___
答：）若奇函数定义域中含有0，则必有。
4.函数的奇偶性应用。
(1)已知f(x)是r上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式；
2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
2)若偶函数f(x)在(－，0)内单调递减，则不等式f(－1)a．(0,10) b. c. d.(10，＋)
3）函数f(x)的定义域d＝，且满足对于任意x1，x2d.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)3，且f(x)在(0，＋)上是增函数，求x的取值范围．
4）已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，（1）求；
2）解不等式。
引申拓展：几类常见的抽象函数 ：
正比例函数型。
幂函数型。指数函数型。
对数函数型。
八．函数的单调性。
1）若函数在区间（－∞4] 上是减函数，那么实数的取值范围是___
答：）)2）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围___
答：）；3）若函数的值域为r，则实数的取值范围是___
答：且）)；
4）若函数在上为增函数，则实数的取值范围是 。
（答：）2．特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；
3．函数单调性与奇偶性的逆用：（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。（答：）
九．函数的周期性与对称性。
1.几种特殊的抽象函数的周期：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1 ，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数。，则是以为周期的周期函数。
函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为。
2.对称性：
函数关于原点对称即奇函数：
函数关于对称即偶函数：
函数关于直线对称：或或者
3函数的周期性与对称性的应用：
例1．已知f(x)是r上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=(
a、2005 b、2 c、1 d、0答：b）
例2． 设f（x）是定义在r上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是。
a)； b)；
c)； d答：b）
例3.已知定义在r上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =f (0) =2，则f (1) +f (2) +f (2010)的值为（ ）
a．–2b．–1c．0d．1 （答：c）
例4.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是高考资源网
a.0bc.1 d答：a）
例5.定义域为r，且对任意都有，若则=_
（答：）例6．设f(x)是定义在r上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线称，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5
（答：0）例7．设f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋＋f(2 011)．
例8．设函数在上满足，，且在闭区间上，只有．
ⅰ）试判断函数的奇偶性；
ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
答：（1）函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数； (2)在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．）
2024年高考数学专题讲义 函数性质
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