2023年全国高考数学试题分类汇编（数列）
常考的五大热点。
编写人：梁志红。
数列难度有所降低，大家复习时注意把握度，等差等比数列基本性质，证明等差等比数列、求通项及前n项和必须要掌握，而数列与不等式结合、数列与三角结合、数列与函数结合依班情而定。
选择适当的题型来复习，课标卷17题不考数列将考三角，所以数列与三角结合值得关注。
一、等差等比数列基本性质。
等差数列基本公式：
等比数列基本公式：
1.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列中，，则数列的前8项和等于。
a．6b．5c．4 d．3
答案】c．2.【2014·北京卷（理5）】设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）
充分且不必要条件必要且不充分条件
充分必要条件既不充分也不必要条件。
答案】d3.【2014·福建卷（理3）】等差数列的前项和，若，则( )
答案】c4.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
成等比数列成等比数列。
成等比数列成等比数列。
答案】d5.【2014·安徽卷（理12）】数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则___
答案】。6.【2014·北京卷（理12）】若等差数列满足，，则当___时的前项和最大。
答案】87.【2014·天津卷（理11）】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和。若成等比数列，则的值为。
答案】 8.【2014·广东卷（理13）】若等比数列的各项均为正数，且，则。
答案】50二、证明等差等比数列、求通项及前n项和。
9.【2014·全国大纲卷（文17）】数列满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.
1）设bn=an+1-an，证明是等差数列；
2）求数列的通项公式。
解析】（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.
所以是首项为1，公差为2的等差数列；
2）由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是。
于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以的通项公式为an=n2-2n +2.
10.【2014·安徽卷（文18）】数列满足。
ⅰ)证明：数列是等差数列；
ⅱ)设，求数列的前项和。
解析】（ⅰ证：由已知可得，即。
所以是以为首项，1为公差的等差数列。
ⅱ）解：由（ⅰ）得，所以，从而。
－②得： 所以。
11.【2014·全国课标卷ⅰ（文17）】已知是递增的等差数列，，是方程的根。
）求的通项公式；
）求数列的前项和。
解析】：（方程的两根为2,3,由题意得，，设数列的公差为 d,，则，故d=，从而，所以的通项公式为6 分。
ⅱ)设求数列的前项和为sn,由(ⅰ)知，则：
两式相减得。
所以12分。
12.【2014·辽宁卷（理17）】已知首项都是1的两个数列（），满足。
1) 令，求数列的通项公式；
2) 若，求数列的前n项和。
解析】（1）因为，所以。
所以数列是以首项，公差的等差数列，故。
2）由知。于是数列前n项和。
相减得。所以。
13.【2014·全国大纲卷（理18）】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且。
i）求的通项公式；
ii）设，求数列的前n项和。
解析】（i）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（ii），于是14.【2014·湖南卷（文16）】 已知数列的前项和。
（i）求数列的通项公式；
（）设，求数列的前项和。
解析】(i)当时，;
当时， 故数列的通项公式为。
ii）)由(1)可得，记数列的前项和为，则。
故数列的前项和。
15.【2014·广东卷（理文19）】设数列的前和为，满足，且，1)求的值；
2)求数列的通项公式。
解析】解：，，又，，又，综上知，，；
２）由（１）猜想，学科网下面用数学归纳法证明．
当时，结论显然成立；
假设当（）时，则，又，解得，即当时，结论成立；
由①②知，．
三、数列与不等式结合。
16.【2014·湖北卷（理16）】已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。
1）求数列的通项公式。
2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由。
解析】（i）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以，化简得，解得或，当时，；当时，从而得数列的通项公式为或。
ii）当时，，显然，不存在正整数，使得。成立。
当时，令，即，解得或（舍去）
此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.
综上所述，当时，不存在满足题意的；
当时，不存在满足题意的；的最小值为41.
17、已知等差数列满足：a3＝7，a5＋a7＝26，的前n项和。，证明＜．
解析】（ⅰ设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==
解（ⅱ）由（ⅰ）知。
所以bn==
tn＝（11－)
四、数列与三角结合。
18、.【2014·陕西卷（理文16）】的内角所对的边分别为。
1）若成等差数列，证明：；
2）若成等比数列，求的最小值。
解析】解：（1）成等差数列。
由正弦定理得。
2）成等比数列。
由余弦定理得。
当且仅当时等号成立）
当且仅当时等号成立）
当且仅当时等号成立）
即。所以的最小值为。
19、若函数f(x)=（sin^2)ax-sinaxcosax(a>0）的图像与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为∏/2的等差数列。
1）求m的值
2）若点a（b,c）是y=f(x）图像的对称中心，且b∈[0,3∏/4],求点a的坐标。
f(x)=sin^2ax-sinaxcosax
1-(cos2ax+1)/2-1/2sin2ax
1/2-√2sin(2ax+45)
周期∏/2*2a=2∏,a=2
m=1/2±√2
2)a为对称中心则。
sin(2ax+π/4)=0
sin(4x+π/4)=0
4x+π/4=π or 2π
b=x=3/16π or 7/16π
20、不等边△abc的内角a、b、c成等差数列，公差为θ。且、、也成等差数列。求cosθ。
2b=a+ca+b+c=3b=2πb=π/3设a五、数列与函数结合。
21.(12分)已知数列的前n项和为sn，且sn＝2an－2(n∈n*)，在数列中，b1＝1，点p(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上．
1)求数列，的通项公式；
2)记tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求tn.
解：(1)由sn＝2an－2，得sn－1＝2an－1－2(n≥2)，两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)，又a1＝2a1－2，∴a1＝2.
数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．
an＝2·2n－1＝2n.
点p(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上，bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2.
数列是等差数列．
b1＝1，∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1.
2)∵tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①
2tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1.②
－②得：－tn＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2·－(2n－1)2n＋1
2＋4·2n－8－(2n－1)2n＋1
(3－2n)·2n＋1－6，tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
22、【2014·四川卷（理文19）】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）。
1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；
2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和。
解析】（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为。
所以。因为点在函数的图象上，所以，所以。
又，所以。2）由。
函数的图象在点处的切线方程为。
所以切线在轴上的截距为，从而，故。
从而，， 所以。故。
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