第一节中值定理
中值定理是一元微分学的理论基础，在这个基础上，将使微分学在更广的范围内应用，这也是研究生考试的重点之一。
[大纲内容与要求] 理解并使用罗尔定理，拉格朗日定理及泰勒定理，了解并使用柯西定理。
[考点分析] 由于中值定理都有一个共同特点，它们都是在这样或那样的条件下，得出在指定的区间内至少存在一点，使得我们研究的函数在这点具有这样或那样的性质，因此我们的重点应放在掌握每个中值本身特点上，学会分析问题的基本方法和掌握这类问题（定理）的基本解题技巧。
一、罗尔定理（请列出罗尔定理）
如果函数f（x）满足。
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b）,那么在（a,b）内至少有一点，使得。
[考点一] 通过对罗尔定理的分析，我们可以得到这样的推广即在上有n阶导数，在n+1个点上函数值相等，，则至少存在一点使。
【例1·证明题】若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数且其中证明：在内至少有一点使得。
【答疑编号981030101：针对该题提问】
分析：f（x）在[x1,x2], x2,x3]上满足罗尔定理条件，因此存在f’（ξ1）=0, f’（ξ2）=0
在[ξ1,ξ2]上对于f’（x）再用罗尔定理，即有f”（ξ0
证明：f（x）在（a,b）上有二阶导数，因此f’（x）,f（x）都存在且连续，又有f（x1）= f（x2）=f（x3）
因此f（x）在[x1, x2] ,x2, x3]上满足罗尔定理条件。
故， 使f’（ξ1）=0，f’（ξ2）=0
于是f’（x）在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理条件。
故使得f’’（0
【例2·证明题】（07年数学一（19）题）
设函数，在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，且存在相等的最大值， 证明：存在使得。
【答疑编号981030102：针对该题提问】
分析：证明f”（ξg”（ξ即证f”（ξg”（ξ0
考虑函数φ（x）=f（x）-g（x）,也就是证明φ”（0
根据已知φ（a）= b）=0,那么由推广的罗尔定理。
只要再找到一点η∈（a,b）, 使φ（η0即得结论。
证明：考虑函数φ（x）=f（x）-g（x）,由于f（x）,g（x）在（a,b）内有二阶导数，从而φ’（x）,存在且连续。又f（x）,g（x）在[a,b]连续，从而φ（x）在[a,b]连续。
从而φ（x）在[a,b]连续，且φ（a）= b）=0
由于f（x）,g（x）有相同的最大值，设此值为m
即有使f（x1）=m
使g（x2）=m
于是 φ（x1）= f（x1） -g（x1）=m- g（x1）≥0
φ（x2）= f（x2） -g（x2）=f（x2）-m≤0
若φ（x1）=0（或φ（x2）=0）则取η=x1（或取η=x2）有φ（η0 η∈a,b）
若φ（x1）>0, φx2）<0 则由连续函数的零点存在定理。知存在η介于 x1, x2之间使φ（η0
总之不论上以哪种情况，总存在η∈（a,b），使φ（η0
于是在[a, ηb]上对φ（x）用罗尔定理。
故 , 使f’（ξ1）=0， f’（ξ2）=0
则使φ’’0
即f”（ξg”（ξ
[考点二] 用罗尔定理证明函数存在零点。
如果不容易找到函数异号的，或者要证明的函数本身不连续的（这样肯定是不能用零点定理的），可以考虑用罗尔定理进行证明。
可考虑用函数f（x）的原函数f（x），因f’（x）=f（x），由罗尔定理得出f’（ξ0则有f（ξ）0
【例3·证明题】（2024年考题）
设函数在上连续，且，试证：在内至少存在两个不同的点和使。
【答疑编号981030103：针对该题提问】
分析：如果用连续函数的零点存在定理，要在两个区间上存在异号函数值，根据现有已知条件不易得到，我们可考虑f（x）的原函数，而f（0）=0,f（π）0，因此只要再找到一点η∈（0,π）使f（η）0，用罗尔定理即可得到两个导数为零的点。
证明：考虑f（x）的原函数，0≤x≤π
则f（0）=0, 只需在（0, π内再有零点即可。
由。而sinη>0 故f（η）0由于f（x）在[0, π连续，则f（x）在[0, π可导，在[0上对f（x）用罗尔定理，则，使f’（ξ1）=f’（ξ2）=0，也就是f（ξ1）=f（ξ2）=0.
【例4·证明题】（95年考题）
设函数f（x）和g（x）在[a,b]上存在二阶导数，并且g''（x）≠0
f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0 试证。
（1）在开区间（a,b）内g（x）≠0
（2）在开区间（a,b）内至少存在一点ξ使。
【答疑编号981030201：针对该题提问】
（1）分析：一般象这种出题方式通常采用反证法，假设在（a,b）内g（x）有零点，由已知g（a）=g（b）=0.则g（x）有三个零点，又g''（x）存在。
因此由推广的罗尔定理，将存在ξ ,使g''（0与g''（x）≠0矛盾。
证明： 用反证法假设使g（c）=0
由于g（x）在[a,b]上存在二阶导数，因此在[a,b]上g'（x）与g（x）都连续可导，又g（a）=g（c）=g（b）=0.
于是在[a,c],[c,b]上对g（x）用罗尔定理。,使g'（ξ1）=0 , g'（ξ2）=0
又在[ξ1 ,ξ2]上对g’（x）用罗尔定理。
使g''（0 与 g”（x）≠0矛盾，故在（a,b）内g（x）≠0
（2）分析：证明即证f（ξ）g”（ξf”（ξg（ξ）0也就是f（x）g”（x）- f”（x）g（x）在（a,b）内有零点。
由已知只知道二阶导存在，并没有说二阶导连续，因此无法用连续函数的零点存在定理，我们考虑找它的原函数，把函数的零点存在问题，转化为它的原函数存在导数为零的点的问题，现在的问题是找f（x）g”（x）- f”（x）g （x）的原函数，如果观察力强，我们可直接找到。
f（x）g”（x）- f”（x）g （x）=[f（x）g’ （x）- f’（x）g （x）]’
如果观察不出来，我们可通过积分求出原函数。
也就是： 证明： f（x）g”（x）- f”（x）g（x）有原函数φ（x）=f（x）g’（x）- f’（x）g（x）
由已知φ（x）在[a,b]可导，且φ（a）=φb）=0
由罗尔定理。,使φ’（0
即f（ξ）g”（ξf”（ξg（ξ）0
由（1）知g（ξ）0,于是有。
二。拉格朗日定理（请列出拉格朗日定理两个理论）
如果函数f（x）满足。
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导，那么在（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ0等可考虑在区间[a,b]内找斜率具有以上特点的弦。
【例5·证明题】
设f（x）在[0,1]连续，在（0,1）可导。f（0）=f（1）=0 ..证明至少存在一点ξ∈（0,1），使f’（ξ1
【答疑编号981030202：针对该题提问】
分析：我们应该在[0,1]内找斜率是1的弦如果弦的一个端取原点，另一点取在曲线上哪一点可保证弦的斜率是1呢？直接找这样的点，实际是办不到的，因为满足连续可导过这三点的曲线有无数多，我们换个思路，作过原点斜率是1的直线y=x如果它与y=f（x）有交点，那么这个交点，就是我们要找的点，要证明y=f（x）与y=x有交点可通过证明f（x）-x有零点。
证明：考虑函数=f（x）-x
由于f（x）在连续。
且。 由零点存在定理使即。
由于f（x）在[0,c]连续。 在（0,c）可导。
由拉格朗日定理，使。
注意：证完以后，也可利用对用罗尔定理使也有。
【例6·证明题】
（08年数学二，（20））
（1）证明积分中值定理：若函数在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点使得
【答疑编号981030203：针对该题提问】
（2）若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点使得
【答疑编号981030204：针对该题提问】
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