备战2023年高考：函数、导数与定积分专题。
一、2023年全国各省高考函数题横向分析。
一) 命题特点。
1.题量分布大。
在调查的35份试题来看，几乎每一套题的每一种题型中，都包含有函数题目。平均而言，每套试卷中，选择、填空共有2~3道函数题目，解答约1道函数题目。
2. 文理科差异明显。
尽管从题量上看，文理大致相同，但从内容看，文理相同题相对很少(仅有江苏完全相同)，甚至相似题也不多，而大多数题目都是相异题。而相同相似题较多的考卷中，也是大纲考区居多，可见，新课标地区，文理题目差异的增大已经成为一种趋势。
3. 题型的分值分布差异小。
在选择填空题目中，函数题目的分数由5~28分不等，平均约12.8分左右，在解答题中，函数题目的分值0~30分不等，平均在14.6分上下。
从文理差异来看，选择、填空、解答三种题型在分值上差异不大，理科比文科略大，除广东卷文理有一道大题的差异外，其他试卷差异都没有超过试卷总分的6%，而文理科总体差异也仅有0.15%而已。
4. 考查知识点的分值分布差异大。
函数专题包含着丰富的内容，在这里，从考查知识点的差异，分19个方面进行整理，分别是(1)求函数的解析、计算函数值；(2)求函数定义域；(3)求函数的值域、极值或最值；(4)函数单调性；(5)函数奇偶性；(6)函数周期性；(7)零点所在区间；(8)函数的图像与图像变换；(9)定积分；(10)分段函数；(11)复合函数；(12)对数的运算性质；(13)导数、变化率与切线；(14)解不等式问题；(15)求参变量的取值范围；(16)反函数；(17)函数极限；(18)新题型；(19)函数与非函数知识的综合题。
注：**中数据单位大都为：分，仅有“比例”一栏中，单位为：1)
注：为保证各套试题权重相当，江苏卷等重复题目每一道计两次分)
注：有些题目涉及到两个或多个知识点，此时将此题目的分值等分给这两个知识点，或多个知识点中最重点考查的两个知识点)
从以上**和条形图中不难看出，函数专题包含知识点很多，分布也比较分散，但其中有几个项目相对比较突出，它们分别是：值域、极值与最值(20.84%),函数单调性(13.
64%)，导数、切线问题(10.60%)，求解析式、函数值(7.91%),求参量取值范围(7.
81%).其中“求函数的值域、极值与最值”是唯一一个在所有地区中均出现的知识点。
5.以中难题目为主。
由**可知，函数题目覆盖易中难各个难度层次，而且中难题目偏多，易中难比例约为2:5:3.在11年的高考选择、解答压轴中，函数题约占三分之一。
二) 新题扫描。
1.新型运算或定义，考查学生获得新知运用新知的能力。
此类题目给人的第一印象是情境新颖，但考察的依然学生对基本知识、技能的掌握程度，这新与旧之间的桥梁就是化归思想。学生通过转化将新颖的问题转化为熟悉的问题，达到解决问题的目的。因此这类题型不但考查了学生阅读获取信息的能力，运用新知识解决问题的能力，更考察了学生化归求解的思想方法。
例1： (广东文数10)设f（x），g（x），h（x）是r上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，f g）（x）=；f·g）（x）=.则下列恒等式成立的是。
a．（（f g）·h）（x）=（f·h）（g·h））（x）
b．（（f·g）h）（x）=（f h）·（gh））（x）
c．（（f g）h）（x）=（f h）（gh））（x）
d．（（f·g）·h）（x）=（f·h）·（g·h））（x）
例2：(四川理数16)函数的定义域为a，若时总有为单函数。例如，函数=2x+1（）是单函数。下列命题：
函数是单函数；
若为单函数，且，；
若为单函数，则对于任意，它至少有一个原象；
函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数。
其中的真命题是写出所有真命题的编号）
2.注重细节，考查学生敏锐的观察能力、严谨的思维能力。
解决数学问题时，元认知监控能力起着重要的作用。学生选择了一种求解方法，在求解过程中，如果能有意识的与题干、选项比对，观察分析，几时调整求解方向，那么就可以顺利地求解题目。
例3：(福建理数09)对于函数(其中，a,br,cz),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是。
a.4和6b.3和1c.2和4d.1和2
例4：（浙江理数10）设a，b，c为实数，，.记集合s=,.若，分别为集合元素s，t的元素个数，则下列结论不可能的是。
a． =1且=0b．
c． =2且=2d． =2且=3
3.选用适当载体，考查应用能力和阅读能力。
联系实际是新课程倡导的，与实际生活联系得比较紧密，在考查学生阅读、理解、运算能力的同时，也使学生增长了见闻，开拓了视野。
例5：(湖北理数10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量m（单位：
太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中m0为t=0时铯137的含量。
已知t=30时，铯137含量的变化率是-10in2（太贝克／年），则m（60）=
a.5太贝克b.75in2太贝克。
c.150in2太贝克d.150太贝克。
4.构造新函数，考查学生思维的灵活性和综合应用能力。
将基本知识综合，构造新的问题，可考查学生综合运用基本知识和技能的能力。
例6：（天津理数08）对实数和，定义运算“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是。
ab． cd．
5.突出导函数与原函数图像关系，考查数形结合分析问题的能力。
新课程中特别强调函数及其导函数图象之间的关系，利用两者的图象数形结合地解决问题是新课标教材中的一大亮点，高考试题中也体现了这一特点。
例7：（全国课标卷理数21）已知函数，曲线在点处的切线方程为。
ⅰ）求、的值；
ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
三) 题型归类及标准解法。
1.求函数解析式、计算函数值。
此题型主要考查学生运算能力，通常是给出解析式和自变量，求函数值，学生只需代入计算即可，对于分段函数，则需要判断一下自变量所属的范围，对于已知奇偶性的函数，则可借助自变量相反数的函数值；还有一类题目，解析式中带有待定系数，此时只要代入题目中事先给出的数据，则可通过解方程(组)解出待定系数。此类题目通常难度偏低。
例8：(湖南文数12)已知为奇函数，，，则___
2.计算定义域。
此类题型也属于基础题型，解法相对固定，难度不会太大。对于给出具体解析式的函数，求定义域只需注意以下六点即可：①分式的分母非零；②偶次开方的被开方数非负；③对数式中的真数为正；④零次幂的底数非零；⑤指对数的底为正切非一；⑥正切函数对应的角终边不落在轴。
在具体题目中，根据以上6点要求列出不等式(组)，解之即可。
例9：（江西理数03）若，则的定义域为 (
a. (0b. (0] cd. (0,)
3.函数的值域、极值、最值。
此类题目是高考函数的热点问题，11年高考中每套试卷中都有这类题目的影子，而此类题目难度覆盖层面较大，有易有难，主要取决于解析式的复杂程度。求值域的先决条件是已知定义域与解析式，这两项准备工作通常不难完成，甚至多数题目中条件会直接给出，关键是求值域的方法灵活多变，常见的方法有：单调性法，数形结合法(适合选择、填空题)、导数法(求出最值，值域的端点通常就是最值)，变形过程中还可能利用到分离常数、配方、换元等变形技巧。
其中借助导数方法的较多(因为导数也是高考数学的一大热点)，这就要求学生对导数的应用非常熟练：导数的正负可以判断单调性；单调区间的交界处即极值点；极值点与端点合作可以找到最值点。
例10：(湖南理数08)设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
a．1 b． c． d．
例11：(福建理数18)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售**x（单位：元/千克）满足关系式，其中3（i）求a的值。
ii）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售**x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
例12：（湖南理数20）如图3，长方形物体e在雨中沿面p（面积为s）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿e移动方向的分速度为。e移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：
（1）p或p的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×s成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为e移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积s=时。
ⅰ）写出的表达式。
ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
例13：(山东文数21理数21) 某企业拟建造如图4所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为．设该容器的建造费用为千元．
ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
ⅱ）求该容器的建造费用最小时的．
4.函数单调性。
此类题目通常考查函数单调性的判定或应用，且常与导数相结合，难度通常不会太大。对于单调性的判定问题，常见的解决方法有：利用定义(较繁琐，很少见)、利用导数(较常见，因为导数也是考点)、利用图象(适合选择、填空题)、利用复合函数单调性判断法则(常用于含有指对数或三角函数的复合函数)、利用关于单调性运算的结论(如增+增=增，增-减=增，增*增=增(要求函数均恒正)，-增=减，等等).
至于单调性的应用，则主要有两个方面：求最值和比大小。单调性求值域的问题前面已经提到，而比大小指，在函数中，如果某一个区间上的单调性已知，则在此区间内，可由与中其中一组大小关系，推断另外一组大小关系。
其中常用的是将的大小关系转化为的大小关系，因为这样可以省去代入函数中的运算。
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