《函数专题复习》
知识梳理：
1、函数：①函数概念三要素映射概念。
2、函数的单调性：①定义；②判断证明单调性方法；（定义法；图象法；复合函数单调性；）③单调性性应用；（解（证）不等式；比较大小；求函数的值域和最值）
3、反函数：①反函数概念；②互为反函数定义域和值域的关系；③求反函数的步骤；④互为反函数图象的关系。
4、指数式和对数式：①根式概念；②分数指数幂；③指数幂的运算性质；④对数概念；⑤对数运算性质；⑥指数和对数的互化关系。
5、指数函数：①指数函数的概念；②指数函数的图象与性质；③指数函数图象变换；④指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）。
6、对数函数：①对数函数的概念；②对数函数的图象与性质；③对数函数图象变换；④对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）。
7、函数应用：①解应用题的基本步骤；②几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）
典型示例。一） 函数定义域和值域。
例1】求下列函数的定义域。
1）（2010广东文）函数的定义域是（ b ）
abc. d.
2）（2010湖北文）函数的定义域为（ ）a
a.( 1) bc（1d. (1)∪（1，+∞
3) （2010广东理）9. 函数=lg(-2)的定义域是。
答案(1,+∞解析】∵，
(4) 已知，求的定义域。
变式】1、（湖南卷）f(x0] ）
2、（江苏卷）函数的定义域为。
3、（2023年广东卷）函数的定义域是。
例2】求下列各函数的值域。
1、（2010重庆文数）（4）函数的值域是。
ab） （cd）
答案 b 解析：
2、（2010重庆文数）(12)已知，则函数的最小值为。
答案 -2 解析：，当且仅当时，3、（2010湖北文）3.已知函数，则。
a.4bc.-4d-
答案】b【解析】根据分段函数可得，则，变式】1、（2010陕西文）13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ .
答案 2 【解析】f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
2、（2010山东文）(3)函数的值域为（ a ）
abcd.
3、（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或。
二） 函数的表达。
例3】（1）（04湖北卷）已知，求。
解：（1）令。
2）函数的图象。
a. 关于原点对称 b. 关于直线y=x对称 c. 关于x轴对称 d. 关于y轴对称。
答案 d解析： 是偶函数，图像关于y轴对称。
变式】1、（2010山东理）(11)函数y=2x -的图像大致是。
答案】a【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除b、c；当x=-2时，2x -=故排除d，所以选a。
2）已知，求 （）
三）求下列函数的增区间
例4】（1） （2） 答案：
2）作图。变式】若在区间递减，求取值范围。
解：① 成立。
四）函数奇偶性。
例5】1、（2010山东理4）设f(x)为定义在r上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（a) 3b) 1c)-1d)-3
2、（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xr)是偶函数，则实数a
答案 a=－1【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
变式】（2010山东文）（5）设为定义在上的奇函数，当时，f(x)=+2x-b（为常数），则a
a）-3 （b）-1c）1d)3
（五）指对数函数。
例6】1、(2010辽宁文）（10）设，且，则。
a） （b）10 （c）20 （d）100
答案 a【解析】选a.又。
2、（2010安徽文）（7）设，则a，b，c的大小关系是。
a）a＞c＞b （b）a＞b＞c （c）c＞a＞b （d）b＞c＞a
答案 a【解析】在时是增函数，所以，在时是减函数，所以。
3、（2010全国卷1文）(7)已知函数。若且，，则的取值范围是。
a) (b)(c) (d)
解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=
又0f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞答案 c
变式】1、（2010天津文）(6)设。
a)a【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。
因为答案 d
2、（2010天津理）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是。
a）（-1，0）∪（0，1b）（-1）∪（1,+∞
c）（-1，0）∪（1d）（-1）∪（0,1）
答案】c【解析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
3、（2010四川理）（3）2log510＋log50.25＝
a）0 （b）1c） 2d）4
解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2 答案 c
六）函数与方程。
例7】（2010上海文）17.若是方程式的解，则属于区间。
a）（0，1）. b）（1，1.25）. c）（1.25，1.75） （d）（1.75，2）
答案 d【解析】
知属于区间（1.75，2）
2、（2010浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点。若∈（1，），则。
a）f()＜0，f()＜0 （b）f()＜0，f()＞0
c）f()＞0，f()＜0 （d）f()＞0，f()＞0
解析：选b，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题。
3、（2010天津文）（4）函数f（x）=
(a)（-2,-1） (b) （1,0） (c) （0,1） (d) （1,2）
答案】c 因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选c
变式】1、（2010天津理）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是。
(a)（-2，-1）(b)（-1,0）(c)（0,1）(d)（1,2）
答案】b由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
2、（2010福建文）7．函数的零点个数为 (
a．3 b．2 c．1 d．0
解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选b。
七）函数综合。
例8】已知x满足， 函数y＝
的值域为， 求a的值。
解：由。由y＝
当时， 为单调增函数， ,无解。
当时， 为单调减函数，，
变式】已知函数的反函数为，.
1) 若，求的取值范围d;
2) 设函数，当d时， 求函数的值域。
解： (1)
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