函数复习专题(幂函数，指数函数，对数函数）
研究函数：a 定义域b值域c对应法则。
常见函数性质：1.单调性2.奇偶性3.对称性4.周期性5.凹凸性（一般不作要求）
要求：1.准确理解函数定义，知道，熟练掌握与函数相关的性质。
2.熟练书写基本初等函数的解析式（参数范围），并结合解析式写出函数的定义域，值域，会判断函数的单调性（作差或作商），判断函数的奇偶性等。
3.熟练画出基本初等函数的图像，并结合图像写出定义域，值域等，判断函数的单调性（写出单调区间），判断奇偶性，周期性等，关键技术是数形结合，会举例。
4.记住一些特殊函数的性质（对勾函数，绝对值函数，分段函数）
5.掌握反函数（求法及与原函数的关系），对初中所学函数（重点是二次函数）熟练灵活使用。
6.熟练结合函数性质解决应用问题（解方程，比较大小，针对实际问题建立相应函数模型）
函数基本理论。
（1）函数的定义。
设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．
（2）映射的定义。
设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．
（3）函数单调性。
如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1) 如果对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．
（4）奇偶性。
奇： 偶：
思考：为什么任意函数都可以写成一个奇函数与偶函数的和？
（5）函数最值。
①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．
②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
1）对于任意的，都有；
2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作。
（6）复合函数。
对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．
（7）函数图像。
1.作图：描点法。
2.图像变换。
平移变换。伸缩变换。
对称变换。幂函数。
（1）幂函数的定义。
一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．
2）幂函数的图象。
3）幂函数的性质。
图象分布：幂函数图象分布在第。
一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第。
一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第。
一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．
指数函数。1）基本要素。
思考：1.指数函数解析式中为什么要求且？
2.指数函数有哪些应用？
3.平移之后的它你还认识吗？
对数与对数函数。
a对数。1）对数的定义。
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
负数和零没有对数．
对数式与指数式的互化：．
2）几个重要的对数恒等式，．
3）常用对数与自然对数。
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
4）对数的运算性质如果，那么。
加法： ②减法：
③数乘。⑤ ⑥换底公式：
b对数函数。
1）对数函数。
(2)反函数。
反函数的概念：
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．
反函数的求法：
确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；
将改写成，并注明反函数的定义域．
反函数的性质：
①原函数与反函数的图象关于直线对称．
函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．
③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．
④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．
(3)函数方程（指数方程与对数方程）
1.注意定义域。
2.熟练使用指数对数运算公式。
3.熟练运用函数性质，留意换元法。
常见特殊函数。
1)勾函数。
函数的图象与性质。
分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．
2)绝对值函数。
思考：请画出及的图像，并总结出自己的心得。
3)分段函数。
关键技术：分段函数分段求（解析式，单调性，值域等）
补充知识。1）二次函数。
1.二次函数解析式的三种形式：
①一般式：②顶点式：③两根式：
2.二次函数解析式的方法。
已知三个点坐标时，宜用一般式．
已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．
3.二次函数图象的性质。
①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．
②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．
③二次函数当时，图象与轴有两个交点．
4.一元二次方程根的分布。
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置： ③判别式： ④端点函数值符号．
5.二次函数在闭区间上的最值（配方法，结合图像）
2）函数的零点。
1.函数零点的概念：
对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2.函数零点的意义：
函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3.函数零点的求法：
求函数的零点：
代数法）求方程的实数根；
几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
关键： 1.连续区间 2.函数值乘积为负值。
例题。已知函数，是正比例函数，是反比例函数，经过及两点。
1）求出的解析式，并写出其定义域。
2）判断在区间上的单调性并给出证明。
3）如果在区间上恒有成立，求的取值范围。
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