一， 函数的概念。
1， 函数中两个集合a和b必须是非空的数集，否则不能构成函数。
2， 集合a 中的元素满足任意性，集合b中的元素满足唯一性。
3， 只有一对一，多对一的对应关系才是函数关系。
4， 函数具有方向性，即一般情况下，a到b的函数和b到a的函数不是同一个函数。
5， 函数的三要素为：定义域，值域和对应关系。
6， 集合a叫做函数的定义域，函数的值域是集合b的子集。
7， 函数的表示方法为，是一个整体，而不是乘法，还可以用等来表示函数。
二，判断两个函数是否为同一个函数的方法。
1，判断两个函数是否为同一个函数的方法。
当且仅当两个函数的定义域和解析表达式都相同时两个函数才是同一个函数。
2，例题分析。
例1， 判断下列函数是否为同一个函数。
1)与(2)与
3)与(4)与
5)与(6)与(7)与
三，求函数的值问题。
1， 设函数，，如果自变量取值为a，则由法则f确定的y的值叫函数在时的函数值，记为。
2， 常见的题目类型及方法。
1) 先求出函数解析，然后代入求值。
例1， 已知，则的值是。
变式训练1】已知，则。
2) 整体法。
例2， 已知，，则。
变式训练2】已知，则。
3) 赋值法：对于与抽象函数有关的求值问题可采用此方法。
例3， 已知，若，求的值。
四， 函数解析式的求法：
此方法是整体代换思想的体现，把括号里看成一个整体，把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可。
例1.已知，求的表达式；
此方法用于不宜配凑的题目或很难配凑出的题目，把括号里的式子换成t，等式的右边用t表示出来，求出的表达式，然后在把t换成x即可，注意t的范围。
例题同方法1中的。
设所以。即。
如果已知到函数的类型，即已知是什么样的函数，然后设出此函数的一般式，利用待定系数法求出参数即可。
例1， 已知函数是二次函数，且，求的表达式；
变式训练1】
1），已知函数是一次函数，且，求的表达式；
2），已知函数是幂函数，且，求的表达式；
2），由已知设，且，所以，即。
方。若已知中含有和，和的关系式时，可构造出另一个方程，然后求出。
例1， 已知函数定义域为，且，求的表达式；
变式训练2】已知函数满足求的表达式；
五，分段函数问题。
1， 分段函数的定义：
指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。
2， 两点注意：
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数。
2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集。
3，例题分析。
例1、若函数，则（ ）
a、 b、2 c、1 d、0
例2、已知函数＝若，则实数
4，反馈练习。
1、已知函数，则（ ）
a、4b、 c、 d、
2、设函数，则实数=（
a、-4或-2 b、-4或2 c、-2或4 d、-2或22、
3、已知函数=，若=，则实数a等于 （）
a、 b、 c、 2 d、 9
六，函数的定义域问题。
1， 函数定义域就是使函数的表达式有意义时自变量的取值范围，一定用集合或区间表示函数的定义域；
2， 已知函数的解析式（具体函数），求定义域问题的类型：
（1）若解析式是整式，则函数的定义域为全体实数r；
（2）若解析式中含有分式，则分母不为零；
3）若解析式中含有偶次根式，则被开方数为非负；
4）若解析式中含有，则底数x不为零；
5）若解析式中含有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1；
6）实际问题中不仅要考虑解析式的意义，还应该注意其实际意义；
7）若解析式中含有以上某几种情况，则应该去它们的交集；
3， 抽象函数的定义域问题：
2） 类型一：已知定义域为a，求定义域问题。
【解法】只要解关于的不等式即可。
3） 类型二：已知定义域为a，求的定义域问题。
【解法】已知，求函数的值域即可。
例1，求下列函数的定义域。
例2函数的定义域是（ ）
abc. d.
例3，函数的定义域是。
例4函数的定义域是。
a． bc． d．
例5，已知函数定义域是，则函数的定义域为。
例6函数的定义域为（ ）
a、 b、 c、 d、
1、设集合a={}集合b为函数的定义域，则ab=（ a、（1，2） b、[1，2] c、 [1，2） d、1，2 ]
2、函数的定义域为 ．
3、若，则的定义域为( )
a、 b、 c、 d、
4、若，则定义域为( )
a、 b、 c、 d、
5、函数的定义域为。
a、b、 c、 d、
6、函数的定义域为。
a、 b、 c、 d、
7、）函数的定义域是。
8、设，则的定义域为。
a、 b、 c、 d、
9、函数的定义域为（ ）
a、 bcd、
10、函数的定义域是。
11、（函数的定义域是( )
a、(3b、[3c、(4d、[4, +
12、函数的定义域是（ ）
a、(0,1］ b、 (0,+∞c、 (1,+∞d、［1,+∞
13、函数的定义域为（ ）
a、 b、 c、 d、
14、函数的定义域为（ ）
a、 b、 cd、
15、函数的定义域为（ ）
a、 b、 c、 d、
16、函数的定义域为。
17、已知函数定义域为r，则求k的范围是。
18、已知函数定义域为，求函数的定义域。
七，求函数的值域问题。
2， 求函数的值域首先要确定函数的定义域，函数的值域就是当自变量x取不同值时对应的y值的集合；
3， 函数的值域一定要用区间或集合表示；
4， 函数的值域是函数值的集合，与函数的最值不同；
5， 函数值域的求法。
有些函数的结构不复杂，可通过基本初等函数的值域结合不等式的性质直接求值域；要对学习过的基本初等函数（一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的性质和不等式的性质熟练的掌握；
例1，函数的值域为（ ）
abcd.
例2，函数的值域是（ ）
a． b. c. d.
形如的函数，把其化为一个常数和另一个函数的和（差）的形式，即或，即对那个函数进行求取值范围即可；
例3，求下列函数的值域。
换元法求函数的值域分两种情况：（1）代数换元，形如，把根号换掉。
例4，求下列函数的值域。
如：（1）在公共定义域内：简记为：增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减。
2）若，则与单调性相同；若，则与单调性相反；
3）函数与单调性相反。
例5，求下列函数的值域。
形如把函数转化为关于的二次方程，通过该方程有实数根，判别式可求，要检验等号能否成立；
例6，求下列函数的值域。
5，反馈练习。
1，求下列函数的值域。
八，函数的单调性问题。
一）函数单调性的判断方法：
1，方法一：定义法证明函数单调性的一般步骤：
1）取值：任取， ，且；
2）作差：；
3）变形定号：将通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号；
4） 下结论：若，即，则是增函数；若，即，则是减函数。
2，方法二：图像法：体现属性集合思想，通过观察函数图象判断；从图像观察：若在区间a上沿x轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数在区间a上是增（减）函数。
3，性质法：
1）若，均为区间上的增函数，则也为区间上的增函数；
2）若，均为区间上的减函数，则也为区间上的减函数；
3）若为区间的上的增函数，为区间上减函数，则为区间上的增函数；
4）若为区间上的减函数，为区间上的增函数，则为区间上的减函数；
简记为：增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减。
5）若，则与单调性相同；若，则与单调性相反；
6）函数在公共定义域内与的单调性相反；
7）函数（）在公共定义域内与单调性相同；
8）奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反；
9）若函数在某区间a上是增（减）函数，则在区间a的任一子区间上也是增（减）的。
4，复合函数单调性的判断方法：单调性满足“同增异减”法则，即。
二）常见的结论。
1，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2，如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就称函数在区间上具有单调性，区间叫做函数的单调区间；
3，函数单调性定义的等价形式：
1）设，且， 在区间上为递增的， 在区间上为递减的；
2），设，且， 在区间上为为递增的， 在区间上递减的；
4，有些函数是单调函数，如一次函数，对数函数和指数函数等，有些不是单调函数如二次函数等。
5，若函数在a，b区间上是递增（减），则在的区间上一般不具有增（减）性。
6，单调性的应用：求函数的最值（或值域）。
一般地，设函数的定义域为：
1）如果存在，对于任意，都有，那么就称是函数的，记作；
2）如果存在，对于任意，都有，那么就称是函数的，记作。
九，函数的奇偶性问题。
一）函数奇偶性的定义：
1，一般地，如果对于函数定义域内的任意一个，都有，那么就称函数为奇函数；
2，一般地，如果对于函数定义域内的任意一个，都有，那么就称函数为偶函数；
二）函数奇偶性的判断方法：
1， 图像法：如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数；
2， 定义法：
1)先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；否则做第（2）歩；
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