1．定义的理解：函数是一种两个数集元素之间的对应关系（又叫函数关系）这种关系可以用f来表示。函数的表示有列表法，图像法，解析法。
已知a= b=写出所有从a到b的函数。
解：从a到b的函数有：f1: 1
共４种。。定义域问题：函数定义域是指自变量的取值范围。一个完整的函数不仅要有解析式而且要有定义域。判断两个函数是否相同不仅要看解析式还要看定义域。
例如判断y=x/x^2与y=1/x是否为同一函数。
解因为它们有相同的定义域，而且解析式x/x^2=1/x,所有是同一函数。
抽象函数定义域的求法：
三种类型。1）。已知y=f(x)定义域a,求y=f(p(x))定义域b.由x属于a得到p(x)εb解出x即可。
如已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域的求法为：8>=x^2-1>=0
解出 3>=x>=1即[1,3]
2）。已知y=f(p（x))定义域b 求y=f(x)的定义域a
因为y=f(p(x))的定义域b 令t=p(x) 求出x属于b时的t的范围就是y=f(t)的定义域。
也就是y=f(x)的定义域。
如已知y=f(x^2-1)的定义域为[1,3]，求y=f(x)定义域。
解令t=x^2-1 ,因1<=x<=3 所以0<=t<=8 y=f(t)的定义域[0,8]
y=f(x)定义域[0,8]
3）。已知y=f(p(x))求y=f(g(x))的定义域。
用上边的方法由y=f(p(x))的定义域求出y=f(x)定义域，然后再求出y=f(g(x))定义域。
3。值域问题；求函数的值域必须看函数的定义域。
求函数值域的几种常见方式。
1）直接法：利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a不等于 0)的定义域为r，值域为r；
反比例函数的定义域为，值域为；
二次函数的定义域为r
当a>0时，值域为；
当a<0时，值域为。
例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1) ②y=x-2x+3
解：①∵1≤x≤1，∴-3≤3x≤ 3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，值域是y∈[-1，5]
y=x-2x+3
1>0,∴y(min)=(4ac-b)/4a=[4×1×3-（-2）]/4×1=1
即函数的值域是2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
f(x)=x-6x+12 x∈[4,6]
因为对称轴x=-b/2a=-(6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x-6x+12 在x∈[4,6]是增函数。
所以f(x)min=f(4)=4 f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
f(x)=x-6x+12 x∈[0,5]
因为对称轴x=-b/2a=-(6)/2×1=3 二次项系数1>0
所以f(x)=x-6x+12 在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数。
所以f(x)min=f(3)=3 而f(0)=12 f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
3)察看法求y=(√x)+1的值域。
√x≥0 ∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞
4)配方式求y=√(x-6x-5)的值域。
-x-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
-x-6x-5=-(x+3)+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2 所以0≤(x+3)≤4所以-4≤-(x+3)≤0
终于得到0≤-(x+3)+4≤4所以0≤√(x-6x-5)≤2
所以y=√(x-6x-5)的值域是[0,2]
5).图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域。
解：因为y=-2x+2(x<-3)
y=8 (-3≤x<5)
y=2x-2(x≥5)
自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8，+）
6)判别式法求y=1/(2x-3x+1)解。
2x-3x+1≠0∴函数的定义域是。
1． 将函数变形可得2yx-3yx+y-1=0当y≠0时，上述关于x的二次方程有实数解δ=9y-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0
当y=0时，方程无解，所以y=0不是原函数的值。
所以y=1/(2x-3x+1)的值域是(-∞8]∪(0,+∞
7）换元法求y=2x－√（x-1)的值域。
解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t+1所以y=2(t+1)-t=2t-t+2=2(t-1/4)+15/8
因为t≥0所以y=2x－√（x4。单调性问题：
1）证明函数在指定区间的递增和递减问题。
证明 f(x)=1+x/√ｘ在（０，上是递减的。
证明：任取。
因为。所以函数在（０，上递减。
一般情况下证明可以采用作差法，作商法。
（２）求单调区间问题。
.定义法。例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。
解分析函数在r+上的单调性。
任取x1>x2>0
y1-y2=(x1^3-x2^3)-(x1-x2)=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)-(x1-x2)
=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2-1)
令y1-y2>0 所以 x1^2+x1x2+x2^2-1>0
因为x1^2+x1x2+x2^2-1>x2^2+x2x2+x2^2-1=3x2^2-1
当3x2^2-1>=0时即x2^2>=1/3 x2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的。
同理当3x1^2-1<=0时即x1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的。
故函数在r+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3)
因此 a=根号3/3
一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。
.图像法。例题求y=x+3/x-1的单调区间。
解函数定义域为（-，1）并（1，+)
y=x+3/x-1=x-1+4/x-1=1+4/x-1
由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。
函数的图像是解决这类问题的关键。
.性质法。性质：增+增=增减+减=减。
y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性。
y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性。
例题求y=x^3+x的单调区间。
解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是r上的增函数。
由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为r.
.复合法。u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。
例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。
解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u
当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增。
当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减。
y=根号u递增。
所以原函数的单调增区间为[1,+)
减区间为（-，1]
5。求参数问题。
1）恒成立问题。
m≥f(x)转化为m≥f(x)的最大值，m≤f(x)转化为m≤f(x)的最小值。
例题已知m≥x^2+2x+3 xε[2,3]时恒成立，求m的范围。
解：令y=x^2+2x+3 得y最大值为30 所以m≥30
2)单调性问题。
例题已知y=x^2+2x+2在（a,+∞上递增，求a的取值范围。
解：y=x^2+2x+2的增区间为[-1,+∞所以a≥1
1)的值域是[15/8,+∞
6。复合函数的奇偶性问题。
记f(x)=f[g(x)]—复合函数，则f(-x)=f[g(-x)]，
1）如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) =f(-x)=f[-g(x)]，
当f(x)是奇函数时，f(-x)=-f[g(x)]=f(x)，f(x)是奇函数；
当f(x)是偶函数时，f(-x)=f[g(x)]=f(x)，f(x)是偶函数。
2）如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) =f(-x)=f[g(x)]=f(x)，f(x)是偶函数。
结论：f(x)=f(g(x))的奇偶性。
若 g(x)奇，f(x)奇则 f(x)奇。
若g(x),f(x)中至少有一偶函数，则 f(x)偶。
例题：判断f(x)=(x^2+1)^3（-2≤x≤2)的奇偶性。
解：定义域关于原点对称。
u=g(x)=x^2+1(-2≤x≤2)是偶函数。
f（u)=u^3 是奇函数。
所以原函数是偶函数。
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