专题七数学思想方法。
第一讲函数与方程思想。
一、选择题。
1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ等于。
a．1或2 b．2或－ c．2 d．0
解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1)，a－λb＝(3＋6λ，2－λ)若(λa＋b)⊥(a－λb)，则。
3λ－6)·(3＋6λ)＋2λ＋1)(2－λ)0，解得λ＝2或λ＝－
答案：b2．设f(x)是定义在r上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x∈[t，t＋2]，不。
等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是。
ab．[2，＋∞
c．(0,2d．[－1]∪[
答案：a3．f(x)是定义在(0，＋∞上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、
b，若aa．af(a)≤f(bb．bf(b)≤f(a)
c．af(b)≤bf(ad．bf(a)≤af(b)
解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，即[xf(x)]′0，xf(x)是减函数．又∵a∴af(a)≥bf(b)．
又∵b>a>0，f(x)≥0，bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b)，bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)，bf(a)≥af(b)．
答案：c4．f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(－1,4)内的。
零点个数为 (
a．2 b．3 c．4 d．5
解析：∵f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0.
又∵f(x)的周期为3，∴f(1)＝0，f(3)＝0.
又∵f＝f＝f＝－f，f＝0.故选d.
答案：d5．已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的。
取值范围是 (
a．13c．13
解析：将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－
4x＋4.当a∈[－1,1]时恒有g(a)>0，只需满足条件。
即，解之得x<1或x>3.
答案：b二、填空题。
6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为。
解析：只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋
a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋
1≥9，即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍)，所以a≥4，即a的最小值为4.
答案：47．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是___
解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的。
值．f(x)的值域为[1,4)
1≤a＋2<4，∴－1≤a<2.
答案：[－1,2)
8．已知函数f(x)＝，a∈r，若方程f2(x)－f(x)＝0共有7个实数根，则a
解析：设y＝t2－t，t＝f(x)作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1.
答案：19．若数列的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中n∈n*)，且该数列中最大[
的项为am，则m
解析：令x＝n，则0构造f(x)＝x3－3x2＋x，x∈
f′(x)＝8x2－6x＋1
令f′(x)＝0，故x1＝，x2＝.
f(x)在上为增函数，f(x)在上为减函数。
f(x)max＝f
即当x＝时，f(x)最大，n＝2时，a2最大．
m＝2.答案：2
三、解答题。
10．设p是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点，求|pq|的最。
大值．解：依题意可设p(0,1)，q(x，y)，则。
pq|＝.又因为q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)．
pq|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2
(1－a2) 2－＋1＋a2，因为|y|≤1，a>1，若a≥，则≤1，当y＝时，|pq|取最大值；
若1综上，当a≥时，|pq|最大值为；当111．已知f(x)是定义在正整数集n*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，当x为。
偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且满足f(1)＋f(2)＝5.
1)求证：(n∈n*)是等差数列；
2)求f(x)的解析式．
1)证明：由题意得。
两式相加得f(2n＋1)－f(2n－1)＝4.
因此f(1)，f(3)，f(5)，…f(2n－1)成等差数列．
即(n∈n*)是等差数列．
2)解：由题意得，解得。
所以f(2n－1)＝f(1)＋(n－1)×4＝2(2n－1)，因此当x为奇数时，f(x)＝2x.[
又因为当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，所以f(x＋1)＝2x＋1＝2(x＋1)－1，故当x为偶数时，f(x)＝2x－1.
综上，f(x)＝.
12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2023年度进行一系列的**活。
动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年**费用t万元之间满足：
3－x与t＋1成反比例．如果不搞**活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知。
2023年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占**费的。
一半”之和，则当年的产销量相等．
1)将2023年的年利润y万元表示为**费t万元的函数；
2)该企业2023年的**费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入。
生产成本－**费)
解：(1)由题意，得3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
x＝3－.由题意，知每件零售价为＋·.
年利润y＝x－(3＋32x)－t[
16x－t＋＝16－t＋
50－＝(t≥0)．
2)∵y＝50－≤50－2＝42(万元)，当且仅当＝， 即t＝7时，ymax＝42，当**费定为7万元时，利润最大。
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