第三讲平面向量。
一、选择题。
1．(2010·安徽，3)设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是 (
a．|a|＝|bb．a·b＝
c．a－b与b垂直d．a∥b
解析：，a项，∵|a|＝1，b|＝＝a|≠|b|；
b项，∵a·b＝1×＋0×＝；
c项，∵a－b＝(1,0)－＝a－b)·b＝·＝0；
d项，∵1×－0×≠0，∴a不平行b.故选c.
答案：c2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为 (
a．0bcd.
解析：∵a·c＝a·
a·a－a·b＝a2－a2＝0，又a≠0，c≠0，∴a⊥c，∴〈a，c〉＝，故选d.
答案：d3．(2010·全国ⅱ)△abc中，点d在边ab上，cd平分∠acb.若＝a，＝b，|a|＝1，b|＝2，则＝ (
a. a＋bb. a＋b
c. a＋bd. a＋b
解析：由角平分线的性质得||＝2||，即有＝＝(a－b)
从而＋＝b＋(a－b)＝a＋b.故选b.
答案：b4．（2010·辽宁）平面上o，a，b三点不共线，设＝a，＝b，则△oab的面积。
等于 ( a.
b. c.
d. 解析：∵cos〈a，b〉＝，sin〈a，b〉＝
，s△oab＝||sin〈，〉
|a||b|sin〈a，b〉，故选c.
答案：c5．若向量a＝(cos α，sin α)b＝(cos β，sin β)a≠±b，则a与b一定满足( )
a．a与b的夹角等于α－β
b．a⊥bc．a∥b
d．(a＋b)⊥(a－b)
解析：∵a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)
(a＋b)·(a－b)＝cos2α－cos2β＋sin2α－sin2β＝1－1＝0，可知(a＋b)⊥(a－b)．
答案：d二、填空题。
6．(2010·陕西)已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m
解析：a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，∴a＋b＝(1，m－1)，a＋b)∥c，∴2＋m－1＝0，∴m＝－1.
答案：－17．(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b
解析：|a－b|＝＝
答案：8．(2010·浙江)已知平面向量α，β0，α≠满足|β|1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是___
解析：如图，数形结合知β=，ab|＝1，c点在圆弧上运动，∠acb＝60°，设∠abc＝θ，由正弦定理知＝，∴sin θ≤当θ＝90°时取最。大值．
答案：得(x，y)＝(2m，－m)＋(n，n)，于是由2m2－n2＝2，消去m、n得m的轨迹方程为x2－2y2＝2.
答案：x2－2y2＝2
三、解答题。
3cos γ＋4cos β＝5
同理可得，4cos α＋5cos γ＝3
3cos α＋5cos β＝4
解①②③联立方程组可得，cos α＝0，cos β＝cos γ＝即·＝0，·＝
2)由(1)知sin α＝1，sin β＝sin γ＝
如右图，s△abc＝s△oab＋s△obc＋s△oca＝×1×1＋×1×1×＋×1×1×＝.
11．已知向量a＝，b＝，且x∈，求：(1)a·b及|a＋b|；
2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值．
解：(1)a·b＝cos·cos－sin·sin＝cos 2x.
a＋b|＝
x∈，∴cos x≥0，|a＋b|＝2cos x.
2)f(x)＝cos 2x－4λcos x即。
f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.
x∈，∴0≤cos x≤1.
当λ<0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾．
当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－，解得λ＝.
当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－解得λ＝，这与λ>1相矛盾．
综上所述，λ＝即为所求．
x1x2＋(x1x2)2＝0(x1x2≠0)．
x1x2＝－4.
x1－x2(x1－x2)＝0，∥，即∥.
2)解：∵＝2，－2x＋2＝x－4，∴x2＝±.
b(，－1)或(－，1)，∴kab＝或－.
ab的方程为y＝±x－2.[来。
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