第一讲空间几何体。
一、选择题。
1．(2010·广东)如图，△abc为正三角形，aa′ ∥bb′∥cc′，cc′⊥平面abc且3aa′＝bb′＝cc′＝ab，则多面体。
abc－a ′b′c′的正视图(也称主视图)是。
解析：根据三视图的定义，几何体的主视图是几何体在它的正前方的竖直平面上的。
正投影，故选d.
答案：d2．(2010·陕西)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是。
abc．1d．2
解析：由几何体的三视图知几何体是底面为以1和为直角边的直角三角形，高为。
的直三棱柱，∴v＝×1××＝1，故选c.
答案：c3．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，则该四面体的体积的最大值为 (
a. a3b. a3
c. a3d. a3
解析：方法一：
设三棱锥另一棱长bc＝x，如右图，取bc的中点e，连结ae、de，易证bc垂直于平面ade，故va－bcd＝s△ade·be＋s△ade·ec＝s△ade·bc＝··a·x
≤·＝当且仅当x2＝(3a2－x2)x＝a时取得等号．
方法二：如上图，底abd是固定的，当c动起来时，显然当平面cad⊥平面abd
时高最大，体积最大，vmax＝··a＝
答案：c4．如右图，在多面体abcdef中，已知abcd是边长为1的正方形，且△ade、△bcf
均为正三角形，ef∥ab，ef＝2，则该多面体的体积为。
a. b. c. d.
解析：如右图，分别过点a、b作ef的垂线，垂足分别为g、h，连结dg、ch，容易求得eg＝hf＝，ag＝gd＝bh＝hc＝，s△agd＝s△bhc＝××1＝，v＝ve－adg＋vf－bhc＋vagd－bhc＝××1＝.故选a
答案：a5．(2010·全国ⅰ)已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点，若ab＝cd＝2，则四。
面体abcd的体积的最大值为。
a. b. c．2 d.
解析：解法一：设ab＝a，cd＝b，异面直线ab与cd所成角为θ，距离为h，将。
bcd补成平行四边形bcde，则be＝b，∠abe＝θ，va－bcd＝va－bde＝vd－abe＝×absin θ·h＝abhsin θ，由题意知a＝b＝2，分别以。
ab、cd为直径作两个互相平行的圆面，则h＝2，∴va－bcd＝×2×2×2sin θ
sin θ≤当θ＝90°时取等号．
解法二：分别以ab、cd为直径作两个互相平行的圆面，将四面体abcd放入长方。
体中，如图，设长方体的底面边长为a、b，则va－bcd＝v长方体＝ab×2＝ab，又由a2＋b2＝4≥2ab得ab≤2，则va－bcd≤，故选b.
解法三：过cd作平面pcd，使ab⊥面pcd，交ab于p，设点p到cd的距离为。
h，则有va－bcd＝×2××2×h＝h，当球直径通过ab与cd的中点时h最大，hmax＝2＝2，故vmax＝.
答案：b二、填空题。
6．(2010·辽宁)如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的。
三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为___
解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2.
答案：27．半径为2的半球内有一内接正六棱锥p－abcdef，则此正六棱锥的侧面积是。
解析：由题意可知，p在圆面上的射影是圆心o.易得pa＝2，ao＝2，af＝2，s△paf＝af·＝.
正六棱锥的侧面积为6.
答案：68．(2009·江西)正三棱柱abc－a1b1c1内接于半径为2的球，若a、b两点的球面距离。
为π，则正三棱柱的体积为___
解析：设o为球心，o1为正△abc的中心，连接oo1，则oo1⊥平面abc，由已。
知条件∠aob＝，则ab＝ao＝2，ao1＝ab＝，oo1＝＝，则v正三棱柱＝s△abc·2oo1＝(2)2·＝8.
答案：89．(2010·江西)如图，在三棱锥o－abc中，三条棱oa，ob，oc两两垂直，且oa>ob>oc，分别经过三条棱oa，ob，oc作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为s1，s2，s3，则s1，s2，s3的大小关系为___
解析：将三棱锥o－abc补形成如图所示的长方体，连cf、oe，oe与ab交于点。
d，则平面ocd将三棱锥体积平分，a到平面ocd的距离d＝，有2×
d·s3＝×oa·ob·oc，则s3＝；
同理s2＝，s1＝，而s＝，s＝，s＝，s>s>s，因此s1>s2>s3
答案：s3三、解答题。
10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)．
:学&科&网。
(1)画出它的直观图(不要求写出画法)；
2)求几何体的表面积和体积．
解：(1)由三视图可知，该几何体由一个正方体和一个四棱柱组成，如图所示．
2)表面积为2××1＋×1＋7×1×1＋3×1＝15＋(m2)．
正方体的体积为13＝1 (m3)，四棱柱的体积为×1×1＝，所以，几何体的体。
积为m3.11．如图所示，长方体abcd－a′b′c′d′中，用截面截下一个棱锥c－a′dd′，求棱锥c－a′dd′的体积与剩余部分的体积之比．
解：已知长方体可以看成直四棱柱add′a′－bcc′b′，设它的底面add′a′
面积为s，高为h，则它的体积为v＝sh.而棱锥c－a′dd′的底面面积为s，高。
是h，因此，棱锥c－a′dd′的体积vc－a′dd′＝×sh＝sh.
剩余部分的体积是sh－sh＝sh.
所以棱锥c－a′dd′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
12．三棱锥一条侧棱长为16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是。
17 cm，求棱锥的体积．
解：如图，设ad＝16 cm，bc＝18 cm，取ad的中点e，连结ce、be，据题意，dc＝db＝ac＝ab＝17 cm，ad＝16 cm，bc＝18 cm，ac＝cd，e为ad中点，ce⊥ad，又de＝ad＝8cm，ce＝＝15 (cm)，同理be＝15 cm，∴be＝ce.
取bc的中点f，连结ef，则ef⊥bc，ef＝＝＝12 (cm)．
∴s△bce＝bc·ef＝×18×12＝108 (cm2)．
ac＝cd＝17 cm，e为ad的中点，∴ce⊥ad，同理be⊥ad，da⊥平面bce.
三棱锥可分为以底面bce为底，以ae、de为高的两个三棱锥：va－bce和。
vd－bce，va－bcd＝2·s△bce·ae＝2××108×8＝576 (cm3)．
即棱锥的体积为576 cm3
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