专题达标检测五。
一、选择题。
1．若a、b表示互不重合的直线，α、表示不重合的平面，则a∥α的一个充分条件是( )
a．α∥ab．α⊥a⊥β
c．a∥b，bd．α∩b，aα，a∥b
解析：a，b，c选项中，直线a都有可能在平面α内，不能满足充分性，故选d.
答案：d2．(2010·全国ⅰ)正方体abcd－a1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为( )
abcd.
解析：∵bb1∥dd1，∴dd1与平面acd1所成的角即为bb1与平面acd1所成的角，设其大小为θ，设正方体的棱长为1，则点d到面acd1的距离为，所以sin θ＝得cos θ＝故选d.
答案：d3．如图，已知△abc为直角三角形，其中∠acb＝90°，m为ab的中点，pm垂直于△abc所在平面，那么。
a．pa＝pb>pc
b．pa＝pbc．pa＝pb＝pc
d．pa≠pb≠pc
解析：∵m是rt△abc斜边ab的中点，∴ma＝mb＝mc.又∵pm⊥平面abc，∴ma、
mb、mc分别是pa、pb、pc在平面abc上的射影，∴pa＝pb＝pc.应选c.
答案：c4．如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′
b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为。
a．1＋且a＋b>h
b．1＋且a＋bc．1＋且a＋b>h
d．1＋且a＋b解析：设啤酒瓶的底面积为s，啤酒瓶的容积为v瓶，瓶内酒的体积为v酒，则v酒＝sa，v瓶－v酒＝sb，即得v瓶＝v酒＋sb＝s(a＋b)，＝1＋.
又∵sa′>sa，即a′>a，h＝a′＋b>a＋b，＝1＋且a＋b答案：b
5．在正三棱锥s－abc中，m、n分别是棱sc、bc的中点，且mn⊥am，若侧棱sa
2，则正棱锥s－abc外接球的表面积是。
a．12b．32π
c．36d．48π
解析：由于mn⊥am，mn∥bs，则bs⊥am，又根据正三棱锥的性质知bs⊥ac，则bs⊥平面sac，于是有∠asb＝∠bsc＝∠csa
90°，sa、sb、sc为三棱锥s—abc外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为r，则4r2＝3sa2＝36，球表面积为4πr2＝36π.
答案：c6．(2010·北京)如图，正方体abcd－a1b1c1d1的棱长为2，动点e，f在棱a1b1上，动。
点p，q分别在棱ad，cd上，若ef＝1，a1e＝x，dq＝y，dp＝z(x，y，z大于零)，则四面体pefq的体积。
a．与x，y，z都有关。
b．与x有关，与y，z无关。
c．与y有关，与x，z无关。
d．与z有关，与x，y无关。
解析：连结eq、fq、a1d，作pn⊥a1d，垂足为n.
a1b1∥dc且ef＝1，∴s△efq是定值．
a1b1⊥面add1a1且pn面add1a1，a1b1⊥pn，∴pn⊥面a1b1cd.
pd＝z，∠a1da＝45°，pn＝z，∴vpefq＝s△efq·pn与x，y无关，与z有关，故选d.
答案：d二、填空题。
7．(2010·湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则hcm.
解析：直观图如图，则三棱锥中ad⊥ab，ad⊥ac，ab⊥ac，体积v＝×ab·ac·h＝20，h＝4.
答案：48．如图所示，在正方体，abcd－a1b1c1d1中，m、n分别为。
a1b1，cc1的中点，p为ad上一动点，记α为异面直线pm
与d1n所成的角，则α的取值集合为___
答案：9．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多。
面体的体积v
解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是。
1，正四棱锥的体积是，故该凸多面体的体积为1＋.
答案：1＋10．(2010·四川)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段abα，b∈l，ab与l所成的角为30°，则ab与平面β所成的角的。
正弦值是___
解析：过a作ac⊥平面β于c，c为垂足，连结cb，过c作cd⊥l于d，连结。
ad，则ad⊥l，∠adc为二面角α－l－β的平面角，即∠adc＝60°.
ac⊥β，abc为直线ab与平面β所成角．设ab＝1，则ad＝，ac＝×，sin ∠abc＝＝＝
答案：三、解答题。
11．(2010·江苏无锡)如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，ab⊥bc，bc⊥bc1，ab＝bc1，e、f、g分别为线段ac1、a1c1、bb1
的中点，求证：
1)平面abc⊥平面abc1；
2)ef∥平面bcc1b1；
3)gf⊥平面ab1c1.
证明：(1)∵bc⊥ab，bc⊥bc1，ab∩bc1＝b，∴bc⊥平面abc1.
bc平面abc，∴平面abc⊥平面abc1.
2)∵ae＝ec1，a1f＝fc1，∴ef∥aa1.
bb1∥aa1，∴ef∥bb1.
ef平面bcc1b1，∴ef∥平面bcc1b1.
3)连结eb，则四边形efgb为平行四边形．
eb⊥ac1，∴fg⊥ac1.
bc⊥面abc1，∴b1c1⊥面abc1，b1c1⊥be，∴fg⊥b1c1.
b1c1∩ac1＝c1，∴gf⊥平面ab1c1.
12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面是菱形，且∠dab＝60°，ad＝aa1，f为棱bb1的中点，点m为线段ac1
的中点．1)求证：直线mf∥平面abcd；
2)求证：平面afc1⊥平面acc1a1；
3)求平面afc1与平面abcd所成的锐二面角的大小．
1)证明：延长c1f交cb的延长线于点n，连结an.因为f是bb1的中点，所以f
为c1n的中点，b为cn的中点．又m是线段ac1的中点，故mf∥an.
又∵mf平面abcd，an平面abcd，mf∥平面abcd.
2)证明：(如上图)连结bd，由直四棱柱abcd－a1b1c1d1，可知：a1a⊥平面abcd，又∵bd平面abcd，a1a⊥bd.
四边形abcd为菱形，∴ac⊥bd.
又∵ac∩a1a＝a，ac、a1a平面acc1a1，bd⊥平面acc1a1.
在四边形danb中，da∥bn且da＝bn，所以四边形danb为平行四边形．
故na∥bd，∴na⊥平面acc1a1.
又∵na平面afc1
平面afc1⊥平面acc1a1
3)解：由(2)知bd⊥平面acc1a1，又ac1平面acc1a1，bd⊥ac1，∵bd∥na，∴ac1⊥na.
又因bd⊥ac可知na⊥ac，∠c1ac就是平面afc1与平面abcd所成锐二面角的平面角．
在rt△c1ac中，tan∠c1ac＝＝，故∠c1ac＝30°.
平面afc1与平面abcd所成锐二面角的大小为30°.
13．(2010·湖北，18)如图，在四面体aboc中，oc⊥oa，oc⊥ob，aob＝120°，且oa＝ob＝oc＝1.
1)设p为ac的中点．证明：在ab上存在一点q，使pq⊥oa，并计算的值；
2)求二面角o－ac－b的平面角的余弦值．
解：解法一：(1)在平面oab内作on⊥oa交ab于n，连结nc.
又oa⊥oc，∴oa⊥平面onc.
nc平面onc，∴oa⊥nc.
取q为an的中点，则pq∥nc，pq⊥oa.
在等腰△aob中，∠aob＝120°，∠oab＝∠oba＝30°.
在rt△aon中，∠oan＝30°，on＝an＝aq.
在△onb中，∠nob＝120°－90°＝30°＝∠nbo，∴nb＝on＝aq，∴＝3.
2)连结pn，po.
由oc⊥oa，oc⊥ob知oc⊥平面oab.
又on平面oab，∴oc⊥on.
又由on⊥oa知on⊥平面aoc.
op是np在平面aoc内的射影．
在等腰rt△coa中，p为ac的中点，ac⊥op.
根据三垂线定理，知ac⊥np.
∠opn为二面角o－ac－b的平面角．在等腰rt△coa中，oc＝oa＝1，op＝.
在rt△aon中，on＝oatan 30°＝，在rt△pon中，pn＝＝，cos ∠opn＝＝＝
解法二：(1)取o为坐标原点，分别以oa，oc所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系o－xyz(如图所示)
则a(1,0,0)，c(0,0,1)，b.
p为ac中点，p.
设＝λ(0,1))，1,0,0)＋λ
pq⊥oa，∴·0，即－λ＝0，λ＝所以存在点q使得pq⊥
oa且＝3.
2）记平面abc的法向量为n=（n1，n2，n3），则由n⊥，n⊥，且＝(1,0，1)，得故可取n＝(1，，1)．
又平面oac的法向量为e＝(0,1,0)．
cos〈n，e〉＝＝
二面角o－ac－b的平面角是锐角，记为θ，则cos θ＝
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