反函数。
基础概念。一、基础知识概述。
本周主要学习了反函数，了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，掌握并会灵活应用互为反函数的函数图象间的关系．
二、重难点知识归纳。
1、反函数的概念：
1）只有自变量与其对应的函数值是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．
2）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，即点在的图象上，则点必在图象上．
3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．
2、反函数的性质：
1）是的反函数，则也是的反函数，即和互为反函数．
2）函数存在反函数的充要条件是函数是定义域到值域的一一映射．
3）函数和反函数的定义域，值域互换，即：
3、互为反函数的图象关系：
函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称．
4、反函数与函数的其它性质的联系：
1）反函数与原函数：，．
注意：并不是反函数的反函数，而是与自身形成的复合函数，谨防出现的错误作法．
2）反函数与单调性：
如果函数有单调性，则反函数也有与一致的单调性，即在上为增函数，则在上为增函数；在上为减函数，则在上为减函数．
典型例题。例1、求下列函数的反函数：
解析：1）分析：求分段函数的反函数，也应分段来求，要注意分段后在所分区间内函数的值域．
设，则：当时，，∴又，∴，即．当时，，∴
2）分析：求无理函数的反函数，应先求函数的值域．
设，则因，∴．
3）分析：求二次分式函数的反函数，一要注意函数的值域，二要注意函数的定义域，即在开方求时注意的取值范围．，∵即．
点评：分段函数的反函数也是分段函数，一般是先分别求出各区间的反函数，再归纳．在求反函数的过程中，如果在反解时需要进行开方运算，特别要注意的取值范围，有时还要结合值域来考虑．
例2、已知函数，点在它的反函数的图象上．
1）求的反函数；
2）证明在其定义域上是减函数．
分析：先由题设条件求出参数的值后，再求反函数．
解析：1）∵在的反函数图象上，∴在函数的图象上，∴．∴，∴即．
由得：．
2）∵在上是增函数，故对、，当时，有．又在上是减函数，∴，即．
∴在上是减函数．
点评：当点在函数的图象上时，必在的反函数的图象上．另外，由于函数与其反函数具有相同的单调性，故可以先证在上是减函数，从而在上是减函数．
例3、判断函数是否存在反函数，若存在，求出．若不存在，说明理由．
分析：函数存在反函数的充要条件是确定函数的对应是一一对应．即对于值域中的一个值，方程有唯一的解，则函数存在反函数，否则，不存在反函数．
解析：设．∵，函数存在反函数．
由以上证明过程知．
点评：根据函数和反函数的概念可知，在定义域上的单调函数一定存在反函数．因此本题还可通过证明在上是单调函数来证明存在反函数．
例4、已知函数的图象过点，它的反函数的图象过点，求函数的解析式．
解析：的图象过点，与的图象关于直线对称，∴的图象过，又由已知也过点，∴，
说明：图象上点关于的对称点必在的图象上．
基础练习。一、选择题。
1、函数的反函数为，若，则、、、的值依次为（ ）
a b、－1
c d、－3、－1
2、若函数的反函数是，，，则等于（ ）
a． b． c． d．
3、已知函数的反函数是，则函数的定义域为（ ）
a． b． c． d．
4、已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（ ）
a． b． c． d．
5、设点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则（ ）
a．， b．，
c．， d．，
6、奇函数的反函数是，若，则的值是（ ）
a． b． c．0 d．无法确定。
7、若函数的图象只经过第。
一、四象限，那么函数的图象一定经过（ ）
a．第。一、二象限 b．第。
一、三象限 c．第。
二、三象限 d．第。
一、四象限。
8、对于的所有值，函数与其反函数的相应函数值间一定有（ ）
a． b． c． d．
9、若，则为（ ）
a． b．
c． d．
10、设函数，则函数的图象是（ ）
a． b．c． d．
2、填空题。
11、函数与函数的图象关于对称，则。
12、若函数在其定义域内存在反函数，则的取值范围是。
13、函数的反函数。
3、解答题。
14、已知．
1）求它的反函数；
2）若函数的图象关于对称，求的值；
3）若，求的值．
15、已知函数的图像为，函数的图像为，与关于直线对称，又的定义域为，对于任意、，且，试比较与的大小．
16、已知．
1）求的反函数的值域；
2）若点是的图象上的一点，求的值域．
高一数学反函数
反函数。教材 人教版全日制普通高级中学教科书 必修 数学第一册 上 教学目标 1 了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系 2 会求一些简单函数的反函数 3 在尝试 探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程 数形结合以及由特殊到一般等数学思想...
14 1 3函数图像
14.1.3函数的图象。函数关系可以用解析式表示。像y 2x 1就表示以x为自变量时，y是x的函数，这种方法叫做解析法。这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示。具体做法是。第一步 列表。画出自变量x与函数值的对应表 先确定x的若干个值，然后填入相应的y值。这种用...
14。1函数教学设计
函数。教学目标。经过回顾思考认识变量中的自变量与函数 进一步理解掌握确定函数关系式 会确定自变量取值范围 教学重点。进一步掌握确定函数关系的方法 确定自变量的取值范围 教学难点。认识函数 领会函数的意义 教具。多 计算器。教学过程。提出问题，创设情境。世间万物皆在变化，行星在宇宙中的位置随时间而变，...